|
18.11.2008
О неаксиоматизируемых
геометриях
и их роли в
физике и
математике
Я
хочу
вернуться к
дневнику
месячной
давности http://elementy.ru/blogs/users/riverton/31748/
Меня заинтересовало
интервью
данное Ю.И.
Маниным
http://www.polit.ru/science/2008/10/16/manin.html
и мне
захотелось
обсудить
поднятый
там вопрос о
будущем
математики.
Интервью
мне понравилось.
Особенно
меня
привлекли
два пункта: (1)
название
интервью
«Не мы
выбираем математику
своей
профессией,
а она нас
выбирает», (2)
Кроме того
на меня
произвела
впечатление
фраза Ю.И.Манина:
«Пока, как я
говорил,
математика
нас выбирает,
и пока есть такие
люди, как
Перельман и
Гротендик,
мы будем
помнить наш
идеал.».
Во втором
пункте на
меня
произвело
впечатление
то, что Манин
поставил
Перельмана
на первое
место,
несмотря на
то, что его
имя трепало
телевидение
и
бульварная
пресса. Знакомые
математики
в качестве
величайшего
современного
математика
обычно
называли
фамилию:
Гротендик.
Одним
словом, я
воспринял
Ю.И.Манина
как неординарного
математика
и решил, что с
ним можно
обсуждать
проблему неаксиоматизируемых
геометрий. В
результате
я решил
сначала обсудить
этот вопрос
с Маниным,
и уже потом,
если
понадобится,
включить этот
вопрос в
свой
дневник для
дальнейшего
обсуждения.
Дело в том,
что мои
попытки
обсудить неаксиоматизируемые
геометрии
на
серьезных
математических
семинарах,
терпели
крах. Мои
заявки на
доклад
отклонялись
под разными
предлогами.
Обычно
говорили,
что
участники
семинара не
занимаются
подобной
тематикой, и
им это будет
не
интересно.
Когда я
пытался заявить,
что
риманова
геометрия
противоречива,
полагая, что
математики
хоть в
какой-то мере
стремятся к
истине и
подобное
наглое заявление
вызовет у
них желание
послушать
меня,
разоблачить
и публично
унизить
этим разоблачением.
Однако, как
только они
слышали об
этом, моя
заявка на
доклад
немедленно
отвергалась
без всяких
дальнейших
объяснений. Попытка
сделать
доклад на
заседании
Московского
Математического
Общества
тоже оказалась
неудачной,
из-за
отрицательного
результата
предварительного
рецензирования,
принятого
для
докладов на
заседаниях
ММО. Попытка
апелляции
тоже была
отвергнута
с помощью простого
заявления: «
Мы привыкли
доверять нашим
рецензентам!»
Я отношусь
философски
к тому, что
думают математики
об неаксиоматизируемых
геометриях.
Однако,
если
представляется
случай, то я
стараюсь обсудить
этот вопрос,
потому что
мне крайне
неловко
смотреть на
то, как
математики
пытаются
придумать
аксиомы для
геометрий,
которые нексиоматизируемы
в принципе.
Одним
словом, я
написал Ю.И.Манину
письмо, в
котором
попытался
изложить
мои претензии
к
традиционному
подходу, где
рассматриваются
только
аксиоматизируемые
геометрии.
Ю.И.Манин
ответил мне.
Я в свою
очередь
изложил ему
мою точку
зрения.
После этого
Ю.И. Манин
написал мне,
что мне не
удалось его
убедить. Я воспринял
этот
короткий
ответ, как
нежелание
проводить
дальнейшую
дискуссию.
Разумеется,
было бы бессмысленным
с моей
стороны
настаивать
на
продолжении
дискуссии
(возможно у
Ю.И.Манина
были веские
и
уважительные
причины не
продолжать
дискуссию).
Сейчас я
намерен
изложить
свою точку
зрения по
поводу неаксиоматизируемых
геометрий. Я
буду
обсуждать
только то,
что было
сказано в
интервью. Я
полагаю, что
никакие
этические
нормы не
будут нарушены,
коль скоро я
ничего не
буду
говорить о
содержании
нашей
приватной
дискуссии.
Как физик, я
полагаю, что
игнорирование
неаксиоматизируемых
геометрий
представляет
собой
серьезную
ошибку в
развитии
математики,
потому что в
результате
физики
оказались
лишенными
большей
части
возможных
геометрий,
пригодных
для
описания
пространства-времени.
Незнание о
существовании
этих
геометрий
толкнуло
физиков на
квантовый
путь, когда
отсутствие
нужных
геометрий
компенсировалось
на уровне
динамики
(использование
квантовых
принципов).
Этого можно
было избежать
при знании о
существовании
неаксиоматизируемых
геометрий.
Математик
мне резонно
может возразить:
«Действительно,
математики
не знали о
существовании
неаксиоматизируемых
геометрий.
Однако, в
том нет
большой
беды. Ведь
нельзя же
знать все на
свете!
Знание дело
наживное.
Теперь
математики
будут
изучать неаксиоматизируемые
геометрии
и
недостаток
будет
устранен.» Я
согласен с такой
точкой
зрения.
Нельзя
ставить в
вину кому бы
то ни было то,
что он
чего-то не
знает.
Однако,
если кто-то
делает
неправильное
утверждение,
то это можно
и нужно
ставить ему
в вину. Таким
образом,
математики,
если и
виноваты, то
лишь в том,
что они
утверждали,
что неаксиоматизируемые
геометрии
не
существуют.
Справедливости
ради
следует
отметить, что
я нигде не
встречал
утверждения,
что не существует
неаксиоматизируемых
геометрий. Несуществование
неаксиоматизируемых
геометрий
подразумевалось
само собой,
просто потому,
что никто не
умел
строить неаксиоматизируемые
геометрии.
Таким
образом,
идея о несуществовании
неаксиоматизируемых
геометрий
является
просто
предрассудком,
который
полежит
искоренению.
К чему приводит
этот
предрассудок
в
математике?
Он приводит
к тому, что
для
построения
новых
обобщенных
геометрий
математики
придумывают
новые топологические
свойства,
надеясь
построить аксиоматизируемые
геометрии с
новыми свойствами.
При этом
исследование
совместности
аксиом
откладывается
на потом,
потому что
проверка совместности
аксиом
безумно
трудна. При
этом
предполагается,
что можно
менять
топологию,
не изменяя
метрических
свойств
геометрии,
что неверно,
потому что в
физических геометриях
мировая
функция
(функция
расстояния)
определяет
все, включая
топологию.
Предрассудок
о несуществовании
неаксиоматизируемых
геометрий
очень силен.
Насколько
он силен, можно
судить по
тому, что
примерно до 2005
года я не
подозревал,
что
физические
геометрии неаксиоматизируемы,
хотя до
этого уже 15
лет работал
с физическими
геометриями,
способ
построения
которых я
придумал сам.
К этому
можно
добавить,
что
известная
теорема
Геделя
основана на
предположении,
что
геометрии
аксиоматизируемы.
Ее парадоксальные
результаты
связаны с
тем, что существуют
еще и неаксиоматизируемые
геометрии.
Упомянутый
предрассудок
связан с
недопущением
интранзитивного
отношения
эквивалентности.
Во всех
математических
и физических
моделях
отношение
эквивалентности
предполагается
транзитивным.
В противном случае
математическая
модель не
может приводить
к определенным
(однозначным)
выводам. С
одной
стороны, математическая
модель, на
основе
которой нельзя
сделать
определенных
выводов, не представляет
ценности.
Однако с
другой стороны,
физическая модель
использующая
геометрию
пространства-времени,
в которой
отношение эквивалентности
интранзитивно,
невольно
вынуждена
использовать
интранзитивное
отношение
эквивалентности,
поскольку любые
физические
модели в той
или иной
мере содержат
ссылку на
геометрию
пространства-времени.
В этой связи
возникает
вопрос, как
повлияет на
дальнейшее
развитие
математики
использование
интранзитивного
отношения
эквивалентности.
Мне (физику)
трудно
оценить это
влияние,
поскольку я
недостаточно
знаю математику.
Хотелось,
чтобы
математики
высказались
по этому
вопросу.
Комментарии:
11
|