01.02.2010

Как логическая перезагрузка породила обобщение ОТО на случай неримановой геометрии и сверх того привела к пересмотру самой ОТО.

Сначала о том, что такое логическая перезагрузка. Логическая перезагрузка – это логическая операция, описывающая переход от одной системы базовых аксиом в логическом построении к другой системе базовых аксиом. Математикам эта операция известна, но употребляется она очень редко, и по этой причине мало кто из математиков ею владеет.

В этом отношении логическая перезагрузка существенно отличается от такой логической операции как дедукция, которая используется при доказательстве любой теоремы и при решении практически любой математической задачи. Например, евклидова геометрия может быть выведена из различных систем базовых аксиом. Эти системы аксиом эквивалентны, и выводимые из них утверждения геометрии не зависят от того, какой системой аксиом мы пользуемся. Понятно, что в подобной ситуации не очень-то важно, какой системой аксиом пользоваться и как переходить от одной системы аксиом к другой. А изучать операцию перехода от одной системы аксиом - другой уж и вовсе бесполезное занятие. У этой операции (насколько мне известно) и названия-то нет. Название – «логическая перезагрузка» я придумал сам.

Когда же и зачем нужна логическая перезагрузка? Если мы собираемся обобщать логическое построение, например, собираемся обобщать евклидову геометрию, то нужно выбрать такую систему аксиом, где базовые аксиомы можно разделить на два сорта:

1. аксиомы характерные для евклидовой геометрии и

2. общегеометрические аксиомы, т.е. имеющие отношение к геометрии, вообще, а не только к евклидовой геометрии.

Понятно, что при обобщении евклидовой геометрии можно варьировать аксиомы геометрии первого сорта, т.е. имеющие отношение к евклидовой геометрии. Общегеометрические аксиомы варьировать не следует. Они должны сохранять силу во всем классе обобщенных геометрий.

Как разделить аксиомы логического построения на два сорта – вопрос не простой. Это разделение существенно зависит от того, что мы понимаем под геометрией. Например, такая аксиома евклидовой геометрии: «Прямая не имеет толщины». Это что? Общегеометрическая аксиома или специфическая аксиома евклидовой геометрии? Обычно считается, что это общегеометрическая аксиома. В результате получаются такие обобщения евклидовой геометрии, как геометрия Минковского и риманова геометрия.

Однако, физическую геометрию, полностью описываемую заданием функции расстояния r, получить уже нельзя. В метрической геометрии кратчайшая (прямая) тоже не имеет толщины, но там это достигается наложением на функцию расстояния r, особого условия, известного, как аксиома треугольника. Собственно говоря, метрическая геометрия отличается физической главным образом аксиомой треугольника. В физической геометрии прямая, вообще говоря, является поверхностью (трубкой) и по этой причине нельзя сказать, что прямая не имеет толщины.

Однако, при рассмотрении физической геометрии проблема существенно глубже. Дело в том, что физическая геометрия не является логическим построением, и для нее не существует конечной системы базовых аксиом. Все утверждения физической геометрии являются аксиомами в том смысле, что их нельзя, вообще говоря, ниоткуда вывести логическим путем. Как же тогда получать утверждения физической геометрии? Как ее можно построить?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что евклидова геометрия является по существу формализацией способа построения геометрических объектов. В евклидовой геометрии геометрические объекты (многогранники, сферы и т.д.) строятся из «кирпичиков», роль которых выполняют такие геометрические объекты, как отрезок прямой и угол. Можно еще к этим двум «кирпичикам» присоединить точку, но от нее мало пользы при построении геометрических объектов. Аксиомы евклидовой геометрии и следующие из них утверждения трактуют о свойствах «кирпичиков» и о том, как их использовать при построении геометрических объектов.

Таким образом, евклидова геометрия является логическим построением. Но кроме этого она является еще физической геометрией в том смысле, что все ее утверждения могут быть выражены через евклидову функцию расстояния. r_Е. На этот счет имеется теорема евклидовой геометрии. Представим себе, что мы выразили все утверждения евклидовой геометрии через ее функцию расстояния r_Е, тогда, заменяя во всех этих утверждениях функцию расстояния r_Е на другую функцию расстояния r, получаем все утверждения другой физической геометрии. Такая замена функций расстояния представляет собой деформацию евклидовой геометрии.

Таким образом, физическая геометрия получается методом деформации евклидовой геометрии. При этом «кирпичики» из которых построены геометрические объекты евклидовой геометрии, деформируются тоже. Разные «кирпичики» деформируются различно, и после деформации, вообще говоря, не остается стандартных «кирпичиков» евклидовой геометрии. Этому обстоятельству соответствует отсутствие конечного числа аксиом, реализующих существование конечного числа стандартных «кирпичиков». Довольно неразумно пытаться что-то построить из нестандартных кирпичей, а именно этим занимаются математики, придумывая новые аксиомы взамен евклидовых.

Гораздо проще и эффективнее строить из стандартных кирпичей, а потом деформировать полученное построение. Деформация может дать такой результат, который просто нельзя построить из кирпичей. Если принять во внимание что геометрия пространства-времени определяется распределением материи, то нельзя догадаться сразу, какой вид будет иметь эта геометрия. Она может иметь любой допустимый вид.

Было бы крайне самонадеянно утверждать, что это будет риманова геометрия, тем более, что она непоследовательна и истинной геометрией не является. Таким образом, физическая геометрия строится на основе принципа деформации. В результате она оказывается конструктивной геометрией, т.е. неаксиоматизируемой геометрией, при построении которой не используется формальная логика. Кроме того, физическая геометрия является многовариантной и для нее отношение эквивалентности является, вообще говоря, интранзитивным. Иначе говоря, физическая геометрия обладает такими свойствами, какими не может обладать математическая геометрия, т.е. геометрия, представляющая собой логическое построение.

Нужно заметить, что вплоть до самого конца двадцатого века все геометрии были математическими, т.е. выводились из некоторой системы аксиом. Были, правда, попытки построить метрическую геометрию, как геометрию, основанную на функции расстояния, (ее называли метрической геометрией, а функцию расстояния называли метрикой), однако без принципа деформации, позволяющего строить геометрические объекты, метрическая геометрия была неэффективной. Ввели метрику. А что дальше? Как строить геометрические объекты и геометрию? Ответа не было…

Была еще дистантная геометрия (Blumental L.M., Theory and Applications of Distance Geometry. Oxford, Clarendon Press, 1953). В этой геометрии аксиома треугольника не использовалась, но кривые (и прямые) все равно не имели толщины, и для их построения нужно было ввести дополнительную информацию, отличную от функции расстояния.

Если говорить о логической перезагрузке в математике, то она осуществлялась на существенно более раннем этапе. Логическая перезагрузка осуществлялась на уровне смены математической геометрии на физическую. Дело в том, что начиная с Евклида математики рассматривали только математические, т.е. аксиоматизируемые геометрии. Евклидова геометрия является одновременно и математической геометрией и физической геометрией, т.е. наукой о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве. В течение почти двух тысяч лет изучалась только евклидова геометрия. Никто не задумывался о том, что в ней важно, то ли то, что она является наукой о расположении геометрических объектов, то ли то, что она является логическим построением. Оба свойства евклидовой геометрии выступали вместе («в одном флаконе»).

Основной трудностью в построении геометрии было доказательство теорем и все, что связано с евклидовой геометрией как логическим построением. То, что при этом евклидова геометрия описывала расположение геометрических объектов, и то, что она использовалась в механике и физике, рассматривалось, как нечто само собой разумеющееся. Не было никакой необходимости отделять геометрию как логическое построение от геометрии как науки о расположении геометрических объектов. Различие между двумя аспектами евклидовой геометрии проявилось тогда, когда возникла необходимость построения более сложных (обобщенных) геометрий, чем евклидова.

Осознание различия между двумя разными аспектами геометрии возникло не сразу. Осознание необходимости сделать выбор между двумя разными аспектами и было осознанием необходимости логической перезагрузки. Нужно было решить, что является важным, а что является второстепенным.

Точка зрения физиков и механиков, т.е. потребителей геометрии совершенна ясна. Им нужна была геометрия как наука о расположении геометрических объектов в пространстве или в пространстве-времени. Будет ли при этом геометрия логическим построением, является вопросом второстепенным. Важно только, чтобы существовали простые и ясные правила, как пользоваться геометрией. Отсутствие таких правил сдерживало осознание геометрии, как науки о расположении геометрических объектов.

С точки зрения математиков, не имеет значения, как будут использовать геометрию физики и механики. Для математиков геометрия есть абстрактное логическое построение, которое содержит много интересных аксиом и теорем. Геометрия есть поле, где математик может проявлять и совершенствовать свое искусство дедукции.

Открытие возможности построения конструктивных (неаксиоматизируемых ) геометрий с помощью эталонной (евклидовой) геометрии и принципа деформации поставило перед исследователями вопрос о том, что для них важно в геометрии, геометрия как наука о расположении геометрических объектов, или геометрия как логическое построение. Для физиков и механиков вопрос ясен. Им нужна физическая геометрия, т.е. геометрия как наука о расположении геометрических объектов. Но начиная со времени Евклида геометрия преподавалась как математическая геометрия, т.е. как логическое построение.

Нужна была логическая перезагрузка, т.е. переход от одних базовых понятий к другим. Это был трудный и болезненный, а главное незнакомый процесс перестройки. Мало кому из физиков удалось осуществить логическую перезагрузку. Многие из них и не подозревают о необходимости подобной логической перезагрузки.

О математиках и говорить нечего. Для них такая логическая перезагрузка не сулит ничего хорошего. Вместо приятного и привычного процесса доказательств теорем, предлагается производить деформацию евклидовой геометрии, т.е. представлять утверждения геометрии в терминах расстояния, заменять евклидову функцию расстояния на другую функцию расстояния и смотреть, что из этого получится. При этом многие привычные понятия математической геометрии приобретают новые непривычные свойства: прямые линии приобретают толщину, мировые линии частиц превращаются в стохастические мировые цепи, геометрия становится многовариантной. Да мало ли других диковинных и непривычных вещей происходит после такой логической перезагрузки!

 С формальной точки зрения происходит переход от описания в терминах бесконечно малого расстояния к описанию в терминах конечного расстояния. К физике и механике это имеет то отношение, что в современной физике используется математический аппарат, основанный на анализе бесконечно малых и использовании дифференциальных уравнений в качестве динамических уравнений. В свое время этот аппарат был изобретен Ньютоном и Лейбницем для решения задач механики.

Риманова геометрия основана на рассмотрении бесконечно малого расстояния. При этом полагается, что задание бесконечно малого пространственно-временного расстояния определяет пространственно-временную геометрию, если считать ее римановой. Однако, риманова геометрия непоследовательна. Кроме того реальная геометрия пространства-времени не является римановой.

Для правильного описания физических явлений нужно использовать более совершенный математический аппарат. Иначе говоря, нужно обобщить теорию относительности (СТО) и ОТО на случай неримановой (физической) геометрии пространства-времени. Речь идет об обобщении (а не создании новой теории), потому что основная идея теории относительности (геометризация физики) остается неизменной.

Геометрия пространства-времени является физической геометрией, и для ее описания нужно использовать конечное расстояние (мировую функцию). Заслуга Ньютона, в частности, и в том, что он ввел в физику и механику бесконечно малые величины и дифференциальные уравнения. При обобщении теории относительности на физическую геометрию следовало двигаться в противоположном направлении: от дифференциальных уравнений к кончно-разностным уравнениям. Для описания движения частиц в заданной геометрии пространства-времени (обобщение СТО) этот переход осуществлялся относительно просто (Generalization of relativistic particle dynamics on the case of non-Riemannian space-time geometry . рус. версия )

Что касается влияния распределения материи в пространстве-времени на геометрию пространства- времени (обобщение ОТО), то тут возникли проблемы, связанные с необходимостью логической перезагрузки. Как известно специальная теория относительности (СТО) возникла из нерелятивистской физики. При переходе от понятий нерелятивистской физики к понятиям физики релятивистской возникли проблемы. Создатели СТО старались ограничиться введением минимума релятивистских понятий (например, понятие одновременности) для того, чтобы быть более понятными своим коллегам, привыкшим к понятиям нерелятивистской физики.

По существу, единственным релятивистским понятием было отсутствие абсолютной одновременности, которое существовало в нерелятивистской физике. Для облегчения перехода к СТО было введено понятие относительной одновременности, или понятие одновременности в данной инерциальной системе координат. С одной стороны, все это привело к тому, что облегчался переход от понятий и математического аппарата нерелятивистской физики к понятиям и математическому аппарату СТО. Использование нерелятивистских понятий позволяло легко переходить к нерелятивистскому пределу, когда в этом возникала необходимость.

С другой стороны, это привело к тому, что теория относительности в большинстве руководств излагалась и излагается в терминах нерелятивистской физики. В результате современное изложение СТО следует квалифицировать как теорию относительности, излагаемую с точки зрения нерелятивистской физики. Пока СТО используется для решения конкретных физических задач, нет большой беды в том, что теория относительности излагается в нерелятивистских понятиях, а не в понятиях, которые адекватны СТО. Наоборот, такое изложение облегчает переход к нерелятивистскому описанию. (В настоящее время физика в основном остается нерелятивистской, а релятивистские эффекты рассматриваются во многих случаях просто как поправки).

Однако, если теорию относительности нужно совершенствовать или обобщать, то изложение СТО в адекватных релятивистских (геометрических) понятиях и терминах совершенно необходимо. В этом случае возникает проблема логической перезагрузки, т.е. проблема изложения теории относительности в адекватных, релятивистских понятиях. Ключевым является понятие близости событий в пространстве-времени. В смысле нерелятивистской физики два события А и В близки, если они происходят одновременно и пространственное расстояние между ними равно нулю.

Нерелятивистское понятие близости событий оперирует двумя величинами пространственным расстоянием и временным интервалом. В СТО это недопустимо.

Объективное понятие близости событий (если такое можно ввести) должно формулироваться в терминах одной величины: пространственно-временного расстояния (Relativistic nearness of events and deformation principle as tool of the relativity theory generalization on the arbitrary space-time geometry.  русс.версия )Релятивистское понятие близости двух событий А и В формулируется так: «События А и В близки, если пространственно-временное расстояние между ними равно нулю». По-другому можно сказать так: «Если точка А находится в вершине светового конуса, а точка (событие) В находится на его поверхности, то точки А и В близки».

Это что же?! Если за много миллионов световых лет от Земли вспыхнула сверхновая звезда, и мы наблюдаем эту вспышку на Земле, то вспышка и момент ее наблюдения на Земле близкие события?!

Да, с точки зрения теории относительности эти два события близки. Обыденное сознание, основанное на понятиях нерелятивистской физики, отказывается принимать такое определение близости событий. Этот трудный переход от нерелятивистского понятия близости представляет собой логическую перезагрузку, очень трудную перезагрузку. Однако надо иметь смелость (и дерзость) преодолеть ностальгию по привычным дорелятивистским понятиям.

Если все же осуществить логическую перезагрузку, то становится возможным обобщение ОТО на случай физической геометрии. При этом многие физические представления меняются столь существенно, что впору говорить о пересмотре ОТО.

Дело в том, что в нерелятивистском случае близкая точка одна, а в релятивистском случае таких точек - много. Если две заряженные частицы взаимодействуют, то они взаимодействуют только через близкие (в релятивистском смысле) точки. Действительно электромагнитный потенциал, создаваемый частицей в точке А, описывается запаздывающим потенциалом Лиенара-Вихерта в тот момент, когда создающая этот потенциал частица находится в точке В, отделенной от точки А нулевым пространственно-временным расстоянием. Другими словами, точки А и В близки.Аналогичную ситуацию мы имеем и в случае гравитационного взаимодействия.

Коль скоро гравитационное и электромагнитное взаимодействия между мировыми линиями двух частиц происходит только через близкие точки, то подобное взаимодействие нужно рассматривать как прямое столкновение частиц. То обстоятельство что соотношение, описывающее взаимодействие, имеет вид конечного алгебраического соотношения, только подтверждает прямое взаимодействие частиц (без посредства гравитационного и электромагнитного полей). То обстоятельство, что у каждой точки на мировой линии одной частицы имеется много близких точек, расположенных на мировых линиях других частиц, создает некоторую специфику.

При столкновении двух частиц они обмениваются энергией и импульсом. Но как описать этот процесс обмена, если частица сталкивается сразу со многими частицами (т.е. имеет близкие точки на мировых линиях всех частиц)? Реально это описывается так. Частица передает свою энергию и импульс в некоторый накопитель, из которого другие частицы получают их в соответствии со степенью близости их близких точек. Роль подобного накопителя играют гравитационное и электромагнитное поля.

Степень близости точек светового конуса к его вершине нельзя описать с помощью пространственно-временного расстояния между точками на поверхности светового конуса и его вершиной. Это расстояние равно нулю. Однако ввести параметр, упорядочивающий характер близости точек ввести можно. Пусть О есть вершина светового конуса, а точки А и В лежат на поверхности светового конуса, причем все три точки О,А,В лежат на одной изотропной прямой, т.е.

r(O,B) = r(A,B) = 0 r(O,A) =

Для определения степени близости точек А и В к вершине О введем параметр p, определив его соотношением p(A) =(OA.OC),   p(B) =(OB.OC) где OC есть некоторый времениподобный вектор, а (OA.OC) есть скалярное произведение двух векторов OA и OC. Чем меньше параметр p, тем ближе соответствующая точка к вершине светового конуса. Хотя величина параметра р зависит от выбора вектора OC, но соотношение близости точек А и В не зависит от выбора вектора OC. Иначе говоря, если p(A ) < p(B) при некотором выборе вектора OC, то это неравенство будет выполняться при любом выборе вектора OC. Воздействие частицы, находящейся в точке О на частицу в точке А пропорционально величине 1/p(А), где в качестве направления вектора OC выбирается направление вектора 4-импульса частицы в точке О.

При нерелятивистском подходе одна частица О воздействует на другую, передавая энергию электромагнитному (или гравитационному ) полю. Поле эволюционирует в соответствии с динамическими уравнениями поля и, достигнув других частиц, передает им часть энергии-импульса, полученного от частицы О.

Наглядно релятивистскую концепцию взаимодействия частиц можно представлять себе следующим образом. Каждая частица описывается ее мировой линией в пространстве-времени. Каждая мировая линия имеет очень длинные волосы в каждой своей точке. Эти волосы распушены вдоль светового конуса, направленного в прошлое. Если волос частицы А пересекает мировую линию частицы В, то частица А получает энергию-импульс от частицы В, а частица В передает энергию-импульс.

Энергия и импульс передаются не прямо, а через накопитель, роль которого выполняет геометрия пространства-времени. Накопитель нужен для распределения передаваемого 4-импульса. Любой точки мировой линии частицы А касаются волосы всех частиц существующих в мире. Передачу энергии-импульса всем им надо «правильно» распределять. Для этой цели служит накопитель в виде геометрии пространства-времени (или если угодно, в виде гравитационного и электромагнитного полей, как это принято считать в нерелятивистской физике). Тут впору вспомнить об идее Маха. Волосы распушены вдоль светового конуса только в прошлое. Это обеспечивает передачу энергии-импульса только из прошлого в будущее.

Вопрос о том, а почему волосы не распушены в обе стороны, не очень уместен, поскольку взаимодействие описывается не дифференциальными уравнениями, для которых прошлое и будущее равноправны, а с помощью конечных соотношений, о которых у нас есть основание думать, что они описывают взаимодействие, направленное из прошлого в будущее.

При последовательном релятивистском подходе взаимодействие происходит напрямую без посредников, (накопитель в виде геометрии все же используется) в соответствии с концепцией релятивистского понятия близости частиц. Уместно заметить, что уравнения Максвелла появились до появления теории относительности и по этой причине понятия, связанные с электромагнитным полем являются нерелятивистскими.

Концепция прямого взаимодействия частиц представляется несколько неожиданной с точки зрения традиционных представлений о теории относительности. Влияние тяжелой частицы на геометрию пространства-времени описывается конечными соотношениями, а не дифференциальными уравнениями, как в ОТО. При этом динамические соотношения для мировой функции позволяют определить прямо пространственно-временное расстояние между произвольными точками, а не метрический тензор как в ОТО. Разумеется, метрический тензор тоже определяется. Но нет задачи определения конечного расстояния (мировой функции) по бесконечно малому расстоянию, как это имеет место в ОТО.

Геометрия оказывается неримановой, а функция расстояния оказывается однозначной даже в простейшем случае тяжелой сферы, тогда как функция расстояния, рассчитываемая по рецептам ОТО, оказывается в этом случае многозначной. Полученный результат отличается от решения Шварцшильда. (Детали и формулы смотри в Relativistic nearness of events and deformation principle as а tool of the relativity theory generalization on the arbitrary space-time geometry. русс. версия ) Свободное движение микрочастиц (элементарных частиц) в геометрии, порождаемой тяжелой сферой, оказывается многовариантным (случайным).  русс. версия  .

Однако, движение макрочастиц (планет, звезд), состоящих из многих связанных микрочастиц, оказывается одновариантным (детерминированным). Детерминированность возникает из-за усреднения случайного движения многих независимых микрочастиц. То обстоятельство, что результаты, получаемые при обобщении ОТО, отличаются от результатов ОТО уже при рассмотрении гравитации тяжелой сферы, порождает недоверие к существованию таких характерных для современной теории гравитации понятий как «черные дыры» и «темная материя».

На данном уровне исследований я не утверждаю, что эти понятия являются фиктивными. Однако они являются сомнительными, поскольку основаны на использовании непоследовательной римановой геометрии. Нужно проверить возможность их существования в рамках более последовательной концепции, какой является обобщение ОТО на случай физической геометрии пространства-времени.

В заключение замечу, что необходимость пересмотра ОТО (разработка геометрической парадигмы или программы геометризации физики) проявилась не как следствие каких-то «гениальных» идей, за которыми так охотятся современные физики-теоретики. Необходимость пересмотра ОТО возникла как простое требование последовательности теоретической концепции. Такой последовательности можно достигнуть, если использовать исследовательскую стратегию: «Найди ошибку и исправь!» Недостатком этой стратегии является только то, что она требует очень высокой квалификации исследователя.

Эклектичная теория не может быть правильной в итоге, хотя на первых порах она может вселять определенные надежды на успех. Стремление работать с принципами теории с целью создания последовательной теории было характерно для девятнадцатого века. В веке двадцатом в теоретической физике торжествовал метод беспринципной подгонки теории под эксперимент.

Комментарии: 15