29.02.2012

Геометризация физики. Зачем она нужна?

Физическую теорию можно излагать в виде многих простых правил, а можно излагать в виде единой концепции, где от основных положений до практического их применения лежит долгий путь логических рассуждений и математических расчетов. Какой из этих двух способов лучше?

Ответ на этот вопрос зависит от того, что нам нужно от физической теории. Если физическая теория нужна для расчета и объяснения конкретных экспериментов, то предпочтительнее много простых правил. Во-первых, их относительно просто может освоить экспериментатор, не привыкший к абстрактным рассуждениям. Во-вторых, для практических целей может понадобиться только малая часть всех правил (физических законов), что существенно упрощает их освоение (пусть даже частичное).

Однако если целью является изучение новых физических явлений, закономерности которых не известны, то единая концепция будет предпочтительней. Она содержит меньше фундаментальных понятий (сущностей). Их легче обобщить на случай рассмотрения новых физических явлений. Дело в том, что при обобщении свойства фундаментальных понятий (сущностей) изменяются. Если этих сущностей много (а именно этот случай имеет место при пользовании многими простыми правилами), то очень трудно согласовать изменения разных сущностей. Приходится выдвигать новые гипотезы об изменении этих сущностей и проверять их на эксперименте. Это не очень эффективно, но, к сожалению, нет иного способа работы со многими простыми правилами (физическими законами).

В то же время многочисленные фундаментальные сущности простых правил не являются на самом деле фундаментальными. В достаточно развитой единой концепции сущности в простых правилах являются производными от меньшего числа фундаментальных сущностей (в идеале от одной фундаментальной сущности единой концепции). В результате изменения понятий в многочисленных простых правилах осуществляются автоматически в результате изменения свойств фундаментальных сущностей единой концепции. Фундаментальных сущностей в единой концепции меньше, и согласовать их изменения существенно легче. В идеале, когда единая концепция является монистической, (т.е. имеется только одна фундаментальная сущность) согласовывать, вообще, ничего не надо.

Геометризация физики представляет собой процесс построения монистической концепции, где единственным фундаментальным понятием является мировая функция геометрии пространства-времени (это половина квадрата расстояния). Основой геометризации физики является тот факт, что граница между геометрией и динамикой частиц подвижна: можно использовать сложную динамику в простой геометрии пространства-времени, а можно описывать то же самое, используя простую динамику (свободное движение частиц) в сложной геометрии пространства-времени. Например, можно описывать движение заряженной частицы в заданном электромагнитном поле в геометрии Минковского. То же самое физическое явление можно описывать как свободное движение частицы в пятимерной геометрии Калуцы-Клейна. В этом случае электромагнитное поле включено в геометрию пространства-времени, а электрический заряд частицы представляет собой импульс вдоль пятого (дополнительного) измерения.

В первом случае имеются две сущности (электромагнитное поле и геометрия), а во втором случае имеется только одна сущность (геометрия). Во втором случае динамика проще (свободное движение), но геометрия пространства-времени сложнее. Гравитация была включена в геометрию пространства-времени еще раньше. В результате классические силовые поля были поглощены геометрией пространства-времени. Нужно было бы включить в геометрию и силовые поля микромира. Однако это оказалось невозможным, потому что мы плохо знали геометрию, точнее мы знали ничтожную часть возможных геометрий пространства-времени. Например, мы не знали дискретной геометрии и не умели с ней работать. То, что иногда геометрию на решетке рассматривают как дискретную геометрию неправильно, потому что дискретная геометрия должна задаваться на том же множестве, на котором задается геометрия Минковского. Геометрия на решетке оказывается неоднородной и анизотропной, что недопустимо для геометрии пространства-времени. Геометрия в микромире дискретна, но она одновременно однородна и изотропна. Не зная дискретной геометрии, физики вынуждены были использовать в микромире непрерывную геометрию. Поскольку при таком описании результаты теории не совпадали с экспериментом, то пришлось изобрести квантовую динамику.

Эйнштейн, который стремился построить монистическую концепцию физики, мечтал построить ее на основе некоторого единого поля. Ему это не удалось. Я полагаю, что это связано с тем, что единое силовое поле является более сложным объектом, чем мировая функция, описывающая геометрию. Единое силовое поле можно ввести на основе преобразования реальной геометрии пространства-времени в геометрию Минковского. Для этого мировую функцию реальной геометрии представляют в виде мировой функции геометрии Минковского плюс некоторая добавка. На основе этой добавки возникает силовое поле, описывающее взаимодействие между частицами. В общем случае это взаимодействие описывается четырехточечной функцией (т.е. функцией от четырех пространственно-временных точек). Возникает ситуация аналогичная той, когда свободное движение заряженной частицы в геометрии Калуцы-Клейна заменяется на движение в электромагнитном поле в геометрии Минковского. В этом случае взаимодействие частиц описывается двухточечным потенциалом Льенара-Вихерта. В общем случае взаимодействие частиц описывается четырехточечной функцией. Соответствующее единое силовое поле (если его удастся ввести) уже не будет одноточечным, как в случае электромагнитного поля. Возникшее единое силовое поле оказывается очень сложным. Угадать вид единого силового поля, зависящего от нескольких точек, представляется очень трудной задачей. Таким образом, идея Эйнштейна построить теорию единого поля представляется технически более сложной задачей, чем геометризация физики на основе мировой функции просто потому, что поле является более сложным объектом, чем геометрия пространства-времени. Геометрия полностью описывается двухточечной мировой функцией, тогда как способ прямого описания единого поля не известен. Его надо угадать. Это представляется трудной задачей, поскольку у нас нет опыта работы с полями, которые описываются функциями от нескольких пространственно временных точек. При этом цель построения единой теории поля и геометризации физики одна и та же – построение монистической концепции динамики частиц.

Описание геометрии в терминах функции расстояния (метрический подход к геометрии) – это старая идея, которую пытались воплотить в виде дистантной геометрии (L.M. Blumenthal, “Theory and Applications of Distance Geometry”, Oxford, Clarendon Press, 1953). К сожалению, метрический поход не удалось воплотить полностью в дистантной геометрии. Уже для описания кривой в дистантной геометрии пришлось ввести неметрическую операцию: непрерывное отображение отрезка числовой оси на множество точек, на котором задана геометрия. Что касается таких понятий как размерность, скалярное произведение и линейная зависимость векторов, то вопрос об их описании в дистантной геометрии даже не ставился, а это сделать необходимо, если мы желаем использовать метрический подход к геометрии. Создается впечатление, что, введя функцию расстояния, Блюменталь не знал, что с ней делать и как ее использовать для описания основных понятий геометрии.

На самом деле, способ построения геометрических величин и геометрических объектов при метрическом походе очень прост. Нужно применить метрический поход к собственно евклидовой геометрии и посмотреть, как там геометрические величины выражаются через мировую функцию (или функцию расстояния). После этого следует использовать полученный способ в других физических (дистантных) геометриях. Геометрию, полностью описываемую мировой функцией, будем называть физической геометрией. Дистантная и метрическая геометрии представляют собой частные случаи физической геометрии. В дистантной геометрии мировая функция не может быть отрицательной, и она не может использоваться для описания геометрии пространства-времени. В метрической геометрии кроме этого ограничения дополнительно накладывается условие аксиомы треугольника. Для рассмотрения собственно евклидовой геометрии как физической геометрии, необходимо произвести логическую перезагрузку, т.е. выразить все величины и понятия евклидовой геометрии в терминах мировой функции, которая в этом случае представляет собой единственную фундаментальную геометрическую величину. Все остальные геометрические величины представляют собой производные величины от мировой функции. Логическая перезагрузка в собственно евклидовой геометрии всегда возможна. Она не меняет евклидовой геометрии, а только увеличивает возможность ее обобщения, поскольку имеется только одна фундаментальная величина.

После логической перезагрузки все геометрические величины и соотношения разбиваются на два класса: (1) общегеометрические соотношения и (2) специальные соотношения собственно евклидовой геометрии.

Общегеометрические соотношения представляют собой определения геометрических объектов и понятий в терминах и только в терминах мировой функции. Заменяя в этих соотношениях мировую функцию собственно евклидовой геометрии на мировую функцию другой физической геометрии, мы получаем соответствующие соотношения этой физической геометрии. Примером общегеометрического соотношения является скалярное произведение (AB.CD) двух векторов AB и CD, которое представляет собой линейную комбинацию мировых функций между разными парами точек из четырех точек A,B,C,D, определяющих векторы AB и CD. Другим примером является условие линейной зависимости n векторов SP_1, SP_2,… SP_n. Определитель Грамма F_n n –ого порядка, составленный из всевозможных скалярных произведений n векторов SP_1, SP_2,… SP_n, представляет собой необходимое и достаточное условие линейной зависимости этих векторов. Поскольку скалярное произведение двух векторов выражается через мировые функции пар точек, определяющих эти векторы, то скалярное произведение является общегеометрическим соотношением. Определитель Грамма, составленный из скалярных произведений, тоже является общегеометрическим соотношением.

В n–мерном евклидовом пространстве найдется n+1 таких точек S,P_1,P_2,…P_n, что соответствующие n векторов SP_1, SP_2,… SP_n будут линейно независимы и соответствующий определитель Грама F_n будет отличен от нуля, а векторы SP_1, SP_2,… SP_n могут использоваться как базисные векторы прямолинейной системы координат K_n. Все остальные определители Грамма

F_k=0, для k>n (1)

Соотношения (1) представляют бесконечное число ограничений, налагаемых на мировую функцию собственно евклидовой геометрии. Натуральное число n представляет собой метрическую размерность n_m евклидовой геометрии. Если координаты точек вводятся на основе системы координат K_n, то координатная размерность n_c (число координат) совпадает с метрической размерностью n_m. Однако размерности n_m и n_c могут не совпадать. Например, двумерный квадрат с евклидовой геометрией на нем можно одно-однозначно отобразить изометрически на одномерный отрезок. Такое отображение будет разрывным во всех точках, но, тем не менее, на одномерном отрезке будет двумерная евклидова геометрия. При этом размерности n_m и n_c будут различны.

Если рассмотреть дискретную геометрию пространства-времени, описываемую мировой функцией

S = S_M+ d**2 sgn(S_M)/2 (2)

где S_M есть мировая функция геометрии Минковского, а d есть элементарная длина дискретной геометрии, то соотношения (1), вычисленные с мировой функцией (2) выполняться не будут. Это означает, что в дискретной геометрии нельзя ввести метрическую размерность n_m (максимальное число линейно независимых векторов). Координатная размерность n_c останется такой же, какой она была в геометрии Минковского. Отсутствие метрической размерности означает по существу невозможность введения линейного векторного пространства. Оно является структурой, на которой основан математический аппарат дифференциальной геометрии.

В самом деле, построение дифференциальной геометрии (например, римановой) начинается с задания многообразия размерности n с заданной на нем системы координат той же размерности n. После этого строится математический аппарат дифференциальной геометрии. При этом размерность n рассматривается просто как некоторое натуральное число. Считается, что размерность можно всегда ввести (это включается в свойство многообразия). Геометрии, для которых нельзя ввести метрическую размерность, просто не рассматриваются (негласно считается, что таких геометрий просто не бывает).

О существовании условий (1), выполнение которых необходимо для возможности введения метрической размерности n_m и построения математического аппарата дифференциальной геометрии, математики даже не подозревают. Впрочем, то, что условия (1) не рассматриваются, означает только, что они считаются всегда выполненными. Это означает, что изучаются только те геометрии пространства-времени, для которых выполнены специальные условия (1) собственно евклидовой геометрии. А эти геометрии составляют ничтожную часть возможных геометрий пространства-времени. Уже такая простая модификация геометрии Минковского, как дискретная геометрия (2) выпадает из поля рассмотрения математиков. Впрочем, математикам безразлично то, что они изучают только определенный класс возможных геометрий. Но для физиков, изучающих свойства реального пространства-времени, исключительно важно, что большинство геометрий оказывается вне поля их рассмотрения, и они вынуждены компенсировать этот недостаток введением квантовой динамики.

Справедливости ради следует отметить, что формально математический аппарат дифференциальной геометрии можно ввести и в дискретной геометрии, выражая соответствующие операции в терминах мировой функции. Однако при этом такие операции как разложение вектора на составляющие, сложение векторов, умножение вектора на число оказываются неоднозначными (многовариантными), и мало пользы от их употребления.

Соотношения (1) могут не выполняться в других физических геометриях, поскольку это специальные соотношения собственно евклидовой геометрии, зависящие от вида мировой функции. Они представляют собой условия, которым удовлетворяет мировая функция собственно евклидовой геометрии. Эти ограничения формулируются в терминах мировой функции, но в них, вообще говоря, нельзя подставлять мировую функцию других физических геометрий, и этим они отличаются от общегеометрических соотношений, которые представляют собой определения геометрических величин и объектов, справедливые для любых физических геометрий.

Пока мы рассматривали хорошо известную евклидову геометрию. То обстоятельство, что размерность – это не просто натуральное число, являющееся параметром геометрии, выясняется при описании геометрии в терминах единственной фундаментальной величины геометрии – мировой функции. Оказывается, что размерность геометрии является сложной производной величиной, которая существует только для простейших геометрий и которой не существует для большинства геометрий пространства-времени. Для обнаружения этого обстоятельства не нужно делать никаких гипотез и проверять их на эксперименте. Нужно только построить монистическую концепцию геометрии, в которой последовательно реализуется метрический подход к геометрии.

Большинство физиков-экспериментаторов хорошо представляют себе трехмерную евклидову геометрию, но уже с трудом представляют себе четырехмерную геометрию Минковского. Что же говорить о дискретной геометрии пространства-времени, у которой нет определенной размерности, но которая, тем не менее, реализуется в нашем мире?! Им гораздо проще (а главное привычнее) представлять себе геометрию пространства-времени в виде геометрии Минковского, оборудованной квантовой динамикой частиц.

Глядя на то, как монистическое описание геометрии позволяет продвинуться в ее понимании, можно надеяться, что монистическое описание геометрии в микромире, позволит продвинуться в понимании теории элементарных частиц и в построении математического аппарата для описания их динамики. Это уже произошло в понимании вопроса о существовании тахионов и позволило непринужденно объяснить эксперимент ОПЕРА по обнаружению «сверхсветовой скорости» нейтрино (Neutrino world chain in framework of skeleton conception of particle dynamics http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/nwcfscp1rw.pdf ). (Здесь ссылка получается неправильно, потому что тильда (~) обрывает ее. Нужно перенсти всю ссылку в командную строку. Тогда она сработает)

Непосредственная связь межу геометрией пространства и динамикой, по-видимому, была хорошо известна Исааку Ньютону. В своих «Началах» он во многих случаях описывал динамику в геометрических терминах. Однако провести «геометризацию» до конца ему не удалось в силу недостаточного развития математического аппарата геометрии. Изобретение Декартом координатного описания геометрии и динамики сделало систему координат посредником между геометрией и динамикой. После этого система координат стала по существу атрибутом геометрии в том смысле, что математический аппарат современной геометрии не может обходиться без системы координат. При этом имеется понимание того обстоятельства, что система координат является всего лишь способом описания геометрии. Тем не менее, не существует бескоординатной формулировки геометрии пространства-времени, хотя такая формулировка должна существовать, коль скоро система координат есть только способ описания геометрии.

Появление физической геометрии, в которой нельзя ввести метрическую размерность и использовать математический аппарат дифференциальной геометрии, порождает потребность в бескоординатном описании геометрии пространства-времени. Дискретная геометрия пространства-времени действительно использует бескоординатное описание, хотя оно очень непривычно для современных физиков.

Однако, в пятидесятых годах прошлого века я изучал в средней школе геометрию по учебнику Киселева. В нем излагалась евклидова геометрия, но о системе координат даже не упоминалось. Система координат появилась в университете при изложении геометрии. Это, как я полагаю, связано с потребностью изложения механики, которую не умеют излагать в бескоординатном виде.

Еще более удивительным является то, что практически во всех учебниках главный принцип теории относительности формулируется как инвариантность динамических уравнений относительно преобразований Лоренца. Разумеется, если говорят о преобразованиях координат, то имеют в виду координатное описание. Но это очень странно: формулировать физические принципы, ссылаясь на способ описания! Как будто нельзя сформулировать физические принципы без такой ссылки! Кроме того, ссылка на преобразования Лоренца адекватна только для плоской геометрии пространства-времени. В искривленной геометрии формулировка принципа относительности с помощью ссылки на преобразования Лоренца просто не верна.

Бескоординатная формулировка принципа относительности звучит так: "В геометрии пространства-времени имеется только одна инвариантная величина – пространственно-временное расстояние, или мировая функция." В нерелятивистской физике имеется две инвариантных величины: временной интервал и пространственный интервал. В этом различие между релятивистской теорией и нерелятивистской. Все остальные различия – это детали геометрии пространства-времени.

Я связываю обычно используемую координатную формулировку принципа относительности с тем, что современное научное сообщество рассматривает систему координат, как атрибут геометрии, хотя и признает, что система координат является способом описания. Между тем, использование координатного описания является специфическим свойством собственно евклидовой геометрии. Использование его для описания геометрии возможно только для очень узкого класса геометрий пространства-времени. Это выяснилось, как мы видели, при попытке построить дискретную геометрию на континуальном множестве точек.

Я занимаюсь изучением дискретной геометрии пространства-времени с 1990 года. Началось это после того, как я обнаружил, что квантовая динамика элементарных частиц является простым следствием дискретности геометрии, а информация о квантовой постоянной содержится в элементарной длине. За все двадцать лет, в течение которых я осуществляю свои исследования, ко мне не примкнул никто из других исследователей, хотя построение монистической концепции физики микромира (в форме геометризации физики) представляется мне исключительно перспективным направлением исследований. Оно ориентировано на углубление понимания геометрии пространства-времени, а не на подгонку с помощью изобретения новых экзотических гипотез с последующей экспериментальной проверкой их.

Восприятие научным сообществом идеи дискретной геометрии пространства-времени выглядит очень странным и сильно напоминает восприятие геометрии Лобачевского –Больяи. Это очень любопытная история. Но об этом как-нибудь в другой раз.