05.05.2012

Монизм и метрический подход как основа геометрии пространства-времени и тахионный газ как кандидат на роль темной материи

Тахионами называют частицы , движущиеся со скоростью большей скорости света. Частицы, движущиеся со скоростью меньшей скорости света, называют тардионами. Тахионы до сих пор не были обнаружены. Этот результат был возведен в принцип. В соответствии с этим принципом людей, допускающих существование тахионов, рассматривают как диссидентов, не признающих принципов СТО.

Между тем, из невозможности обнаружить тахионы следует только то, что отдельный тахион нельзя обнаружить. Из этого следует дилемма: (1) тахионы существуют, но обнаружить отдельный тахион нельзя или (2) тахионы не существуют.

Если тахионы существуют, но обнаружить отдельный тахион нельзя, то какой смысл говорить о существовании тахионов, которых нельзя обнаружить? Однако, если нельзя обнаружить отдельный тахион, то это вовсе не означает, что тахионы нельзя обнаружить, когда их много. Тахионный газ можно было бы обнаружить по его гравитационному полю. Астрофизические наблюдения свидетельствуют о том, что существует так называемая темная материя, гравитационное поле которой влияет на наблюдаемое движение звезд на периферии некоторых галактик. Масса темной материи составляет значительную часть массы некоторых галактик. Темная материя образует вокруг некоторых галактик обширное гало, размер которого в несколько раз превосходит размер галактики. Однако до сих пор не удалось обнаружить, что представляет собой темная материя. Состоит ли она из отдельных частиц и если да, то, что представляют собой частицы темной материи.

Тахионный газ, молекулы которого нельзя обнаружить, отлично подходил бы на роль темной материи, если бы не принцип, запрещающий существование тахионов. Заметим, однако, что этот принцип есть следствие безуспешных попыток обнаружить отдельные тахионы. Этот принцип, который рассматривают как принцип теории относительности, на самом деле не утверждает, что тахионы не существует. Из него следует только, что отдельный тахион обнаружить нельзя, и ничего сверх этого сказать нельзя.

С другой стороны, наши знания геометрии (и в частности, геометрии пространства-времени) совершенно недостаточны для анализа тахионов и их свойств. В динамике элементарных частиц мы имеем дело только с тардионами и ничего не знаем о свойствах тахионов. В частности, мы ничего не знаем о том, почему нельзя обнаружить отдельные тахионы.

Причина невозможности обнаружить отдельный тахион чисто геометрическая. Геометрия – это наука о взаимном расположении и форме геометрических объектов. Евклиду удалось представить специальный случай геометрии (собственно евклидову геометрию) как логическое построение. Он обнаружил, что любой геометрический может быть построен из простейших элементов (точка, отрезок прямой, угол). Описав свойства простейших элементов и правила их комбинаций в виде некоторых утверждений (аксиом), Евклид показал, как, руководствуясь этими правилами, можно построить любой геометрический объект и исследовать его свойства. Евклид придал этим правилам вид логического построения. Почему? Какое отношение имеет логика к геометрии?

Скорее всего, Евклид это сделал потому, что в его время логика считалась наиболее уважаемой наукой. Геометрия, представленная в виде логического построения, имела вид наиболее наукообразного (и наиболее уважаемого) построения. В течение двух тысяч лет геометрия рассматривалась как логическое построение и никак иначе. При этом считалось, что любая обобщенная геометрия тоже является логическим построением. То обстоятельство, что на самом деле логическое построение представляет собой лишь способ построения евклидовой геометрии (а не саму евклидову геометрию) как-то не привлекало внимания исследователей. Между тем вполне могло оказаться, что евклидов (логический) способ построения геометрии может быть непригодным для построения геометрии, в которой не все геометрические объекты могут быть построены как комбинации простейших элементов.

Геометрия как наука о расположении геометрических объектов полностью описывается заданием расстояния между всеми парами точек. Все, что можно сказать о взаимном расположении геометрических объектов и их форме, полностью определяется заданием функции расстояния между всеми парами точек. Однако, эта информация очень обильна, и с ней трудно работать, если не разработать методов обработки информации, содержащейся в виде функции расстояния.

Подход к геометрии как науке о расположении геометрических объектов называется метрическим подходом. Метрический подход к геометрии известен (Menger, Blumental), но он не получил развития из-за того, что его не удавалось провести последовательно. Блюменталь в своей книге (L. M. Blumenthal, Theory and Applications of Distance Geometry, Oxford, Clarendon Press, 1953) излагает метрический подход к геометрии, но ему не удалось сделать это последовательно. Он вынужден был определять кривую как непрерывное отображение отрезка числовой оси на множество точек, на котором задана геометрия. Понятие непрерывного отображения отсутствует в геометрии, и его введение является выходом за пределы метрического подхода. Кроме того, у Блюменталя расстояние является неотрицательной величиной, и его подход не может быть применен к геометрии пространства-времени, где расстояние может быть мнимым. Чтобы избежать мнимых величин, вместо расстояния d следует использовать мировую функцию s= d^2/2, представляющую собой половину квадрата расстояния.

Для того чтобы построить геометрию как науку о расположении геометрических объектов, нужно все геометрические построения и соотношения формулировать в терминах мировой функции и только в этих терминах. Вид этих соотношений (в терминах мировой функции) должен быть одним и тем же во всех геометриях. Это необходимо для того, чтобы можно было следить за эволюцией физического тела (и геометрического объекта, описывающего это тело) в процессе его перемещения в пространстве событий из области с одной геометрией в область с другой геометрией. Например, в евклидовой геометрии отрезок T[AB] прямой между точками А и В описывается как множество точек R, определяемое соотношением

T[AB] ={R|d(A,R) + d(R,B) = d(A,B)} (1)

Где d=\sqrt(2s) есть расстояние в евклидовой геометрии. Отрезок прямой должен определяться тем же соотношением (1) в любой физической геометрии, т.е. геометрии полностью описываемой мировой функцией, поскольку обработка информации, заключенной в мировой функции, должна быть единообразной во всех геометриях.

В евклидовой геометрии отрезок прямой (1) является одномерным множеством. Не следует думать, что отрезок прямой будет одномерным множеством в любой геометрии. Одно уравнение в n-мерном евклидовом пространстве описывает, вообще говоря, (n-1)-мерную поверхность. То обстоятельство, что уравнение (1) описывает одномерное множество, является следствием особого свойства (вырожденности) евклидовой геометрии, которое, вообще говоря, не имеет места в других физических геометриях.

Концепция, в которой имеется только одна базовая фундаментальная величина, а все остальные величины являются производными величинами от базовой величины, называется монистической концепцией. Концепция, в которой имеется несколько независимых базовых величин, называется плюралистической концепцией. Евклидова геометрия в ее традиционном аксиоматическом представлении является плюралистической концепцией, поскольку в ней имеется несколько независимых базовых величин (точка, размерность, прямая, угол). В евклидовой геометрии свойства базовых величин согласованы, и их использование не приводит к противоречиям. Однако при попытке обобщить евклидову геометрию мы сталкиваемся с необходимостью использовать другие аксиомы, описывающие свойства базовых величин. Поскольку все базовые величины независимы (а не являются производными одной базовой величины как в монистической концепции), аксиомы, описывающие свойства этих величин видоизменяются независимо. В результате возникает необходимость в проверке совместности новых аксиом, что представляет собой исключительно трудную работу. Но дело даже не только в трудности этой работы. Не хватает воображения, чтобы придумать правильные аксиомы. Например, как догадаться, что в дискретной геометрии нельзя ввести метрическую размерность и что отрезок прямой не является, вообще говоря, одномерным множеством? Как догадаться, что линейное векторное пространство, на котором основан формализм дифференциальной геометрии, нельзя ввести в дискретной геометрии? В монистической концепции все обобщения возникают автоматически. Поскольку все геометрические величины выражаются единообразно во всех геометриях через мировую функцию, то все они согласованно изменяются при изменении мировой функции.

Нисколько не удивительно, что Блюменталь, используя метрический подход, не мог получить правильного определения кривой в свой дистантной геометрии. Это действительно очень трудно, если не использовать монистической концепции. Я лично потратил тридцать лет на то, чтобы догадаться, что отрезок прямой может быть поверхностью (а не одномерной линией). Дело пошло на лад только после того, как я догадался построить монистическую концепцию геометрии, положив в основу мировую функцию, как величину, содержащую полную информацию о геометрии.

Кажется довольно странным, что при попытке традиционного построения обобщенной геометрии приходится повторять весь путь построения собственно евклидовой геометрии. Более естественным представляется другой путь: обобщенная геометрия строится путем некоторой деформации уже построенной собственно евклидовой геометрии. Довольно бессмысленно строить каждую новую геометрию, повторяя весь путь построения евклидовой геометрии. Кроме того, нет уверенности, что евклидовым методом (стартуя с аксиом) можно построить любую обобщенную геометрию (Разумеется, если под геометрией понимать науку о расположении геометрических объектов, а не логическое построение).

Предлагается следующий способ построения физической геометрии, именуемый принципом деформации:
(1) Собственно евклидова геометрия представляется в монистическом виде, когда все понятия и величины евклидовой геометрии выражаются через мировую функцию евклидовой геометрии. Такое представление возможно. Все утверждения евклидовой геометрии распадаются на два вида: а) общегеометрические, содержащие мировую функцию и представляющие собой главным образом определения, б) специальные соотношения собственно евклидовой геометрии, описывающие свойства евклидовой геометрии.
(2) Производится замена евклидовой мировой функции на мировую функцию искомой обобщенной геометрии во всех общегеометрических соотношениях. Специальные соотношения евклидовой геометрии отбрасываются, или заменяются (если это необходимо) специальными соотношениями новой геометрии, описывающими свойства новой мировой функции.
(3) В результате такой деформации евклидовой геометрии появляется монистическое представление обобщенной геометрии с соответствующей мировой функцией.
Принцип деформации имеет ряд преимуществ перед традиционным евклидовым способом построения геометрии:
(1) Можно построить (неаксиоматизируемые) геометрии, которые нельзя построить евклидовым методом.
(2) Геометрия может быть сформулирована в бескоординатной форме. (Всякая добротно сработанная теория должна допускать бескоординатное описание)
(3) Не нужно повторять доказательства многочисленных теорем и проверять совместность аксиом, что существенно упрощает построение физической геометрии и превращает построение геометрии в подстановку новой мировой функции в известные формулы.
(4) Можно одновременно работать с несколькими геометриями, когда разные области пространства событий описываются разными мировыми функциями. Это важно в теории гравитации, когда мировая функция определяется распределением материи.

В физической геометрии кривая определяется как предел ломаной линии, когда длина ее звеньев стремится к нулю (так определяется кривая линия у Евклида). Если геометрия дискретная, и перейти к пределу нельзя, то вместо кривой используется цепь со звеньями конечной длины. Мировая цепь вместо мировой линии – это общий случай. В простейшем случае мировая цепь – это ломаная линия со звеньями конечной длины. Если можно переходить к пределу, когда длина звена стремится к нулю, то это лучше это делать в конце, потому что конечная длина звеньев мировой цепи важна при описании мировой цепи тахиона.

Для свободной точечной частицы смежные звенья мировой цепи эквивалентны (т.е. они параллельны и длины их равны). При этом в дискретной геометрии каждому вектору соответствует много эквивалентных векторов, которые не эквивалентны между собой. Это приводит к вихлянию мировой цепи. При этом вихляние цепи из времениподобных векторов имеет амплитуду порядка элементарной длины дискретной геометрии. Оно исчезает в пределе непрерывной геометрии. Вихляние цепи из пространственноподобных векторов имеет бесконечную амплитуду и не исчезает в пределе непрерывной геометрии. Это достаточно непривычная ситуация в геометрии Минковского, поскольку обычно векторы считаются эквивалентными, если их компоненты в инерциальной системе координат совпадают. Однако такое определение эквивалентности содержит ссылку на систему координат, что недопустимо в физической геометрии, где все должно формулироваться в терминах и только в терминах мировой функции. Два вектора эквивалентны, если они параллельны и длины их равны. В собственно евклидовой геометрии такое определение приводит к тому, что имеется один и только один вектор CD в точке C , эквивалентный вектору АВ в точке А. То же самое верно для времениподобных векторов в геометрии Минковского.

Однако, для пространственноподобных векторов это не так. Например, вектор АВ = (0,q,0,0) эквивалентен векторам CD = (\sqrt(a^2+b^2),q,a,b) где а и b произвольные числа. Тогда как разные векторы CD не эквивалентны друг другу, вообще говоря. Действительно | CD|^2= -q^2 и скалярное произведение (АВ. CD)=-q^2. Вектор CD практически не определен. Хотя его длина q может быть малой, пространственные расстояния а и b могут быть сколь угодно большими. Это приводит к невозможности определить мировую цепь тахиона, которая является постранственноподобной.

При обычном подходе к дифференциальной геометрии эквивалентность пространственноподобных векторов определяется ссылкой на систему координат, которая является некоторой конструкцией не всегда адекватной рассматриваемой геометрии. Осознать это обстоятельство довольно трудно, поскольку мы в течение последних двух тысяч лет использовали только евклидов метод построения геометрии, который адекватен собственно евклидовой геометрии, но не адекватен применительно к геометрии Минковского.

Таким образом, невозможность определения мировой цепи отельного тахиона обусловлена геометрией пространства-времени, и мы не знали этого только из-за несовершенства нашего знания геометрии. Усредняя вихляющие мировые линии тахионов, можно получить параметры тахионного газа (см. детали в работе «Тахионы и тахионный газ в дискретной геометрии пространства-времени http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/ttgdstg1rw.pdf ). ( Ссылка работает только, если перенести ее в командную строку браузера, поскольку ~ обрывает адрес). Оказывается, что средняя скорость тахионного газа меньше скорости света. Давление Р описывается соотношением

P=d(c^2-V)/3 (2)
где d есть плотность газа, а V - гравитационный потенциал, c есть скорость света.
Плотность тахионного газа в слабом цетрально-симметричном гравитационном поле ( V<<c^2 ) галактики массой М описывается соотношением
d=D(1-V/c^2)^{-5/2), V=GM/r+4\piGDr^2/3 (3)
где G есть гравитационная постоянная, а D есть постоянная плотность тахионного газа на бесконечности.
Из выражения (2) следует, что давление тахионного газа мало отличается от давления ультрарелятивистского газ. Из выражения (3) следует, что плотность тахионного газа меняется достаточно медленно, и он может образовывать гало вокруг галактики с медленно меряющейся плотностью.

Следует подчеркнуть особо, что для получения свойств тахионов и тахионного газа мы не использовали каких-либо гипотез. Мы просто исправили ошибки в традиционном подходе к геометрии, где геометрия рассматривалась как логическое построение и не использовался монизм геометрии.

Комментарии: 2 |