19.08.2012

Теория относительности и феномен Галилея

Специальную теорию относительности (СТО) обычно формулируют, указывая то, чем она отличается от нерелятивистской физики Ньютона. Например, говорят, что динамические уравнения в теории Ньютона инвариантны относительно галилеевых преобразований системы координат, тогда как динамические уравнения в теории относительности инвариантны относительно преобразований Лоренца. Добавляют, что в теории относительности невозможно движение тел со скоростью большей скорости света и нельзя передать сигнал со скоростью большей скорости света. Все эти явления рассматриваются как проявление принципов теории относительности.

Однако, если эти явления и представляют собой признаки теории относительности, то это – некоторые вторичные признаки. Принципы теории относительности должны формулироваться без ссылки на способы описания (системы координат), потому что принципы – это наиболее общие закономерности, которые должны допускать бескоординатную формулировку. В частности, если имеется слабое гравитационное поле и геометрия пространстве-времени несколько отличается от геометрии Минковского, то утверждение об инвариантности динамических уравнений относительно преобразований Лоренца становится неверным, поскольку группа Лоренца перестает быть группой движений пространства-времени.

Принципы релятивистской физики и физики нерелятивистской представляют собой утверждения о свойствах пространства событий (пространства-времени). В релятивистской физике в пространстве событий имеется только одна пространственно-временная структура \sigma , тогда как в нерелятивистской физике имеется две независимые пространственно-временные структуры: S и T. Каждая из трех структур \sigma, S, T представляет собой вещественное число от двух точек, принадлежащих пространству-времени, причем структура \sigma является функцией от пространственно-временных структур: S и T.

\sigma (P,Q) =(c**2T(P,Q) – S(P,Q))/2 (1)

для любых P,Q, принадлежащих пространству-времени \Omega.

T(P,Q) представляет собой квадрат временного интервала между точками P и Q, тогда как S(P,Q) представляет собой квадрат пространственного интервала между точками P и Q. Что касается \sigma, то \sigma (P,Q) представляет собой пространственно-временной интервал между точками P и Q. Он связан с пространственным и временным интервалами посредством соотношения (1).

Под физической геометрией понимается множество точек \Omega, с заданной не нем мировой функцией \sigma (P,Q). На множестве точек (событий) пространства-времени физическая геометрия пространства-времени может быть задана двояко: (1) если в качестве мировой функции взята структура \sigma, то получается релятивистская теория. (2) если в качестве мировой функции взята структура S, то получается нерелятивистская теория. При этом если в качестве мировой функции берется структура S, то к мировой функции добавляется дополнительная структура T. В результате физическая геометрия пространства-времени превращается в обогащенную геометрию, т.е. физическую геометрию с добавленной к ней дополнительной структурой.

Пространство-время в нерелятивистской теории описывается обогащенной геометрией, содержащей две структуры S и T, причем обе структуры предполагаются существующими объективно, а не только в расчетах теоретика. Наличие двух структур позволяет построить в пространстве-времени множество (абсолютно) одновременных событий. Например, множество событий Q, одновременных событию Р определяется условием

S(P,Q) = 0 (2)

В релятивистской теории такое множество построить нельзя, поскольку в релятивистской теории имеется только одна структура.

Нерелятивистская теория обогащенной геометрии пространства-времени может строиться с использованием мировой функции \sigma, определяемой через структуры S и T с помощью соотношения (1). В принципе это должно привести к тем же результатам, что и построение обогащенной геометрии с мировой функцией S и T, поскольку физическая геометрия определяется однозначно заданием мировой функции, а обогащенная физическая геометрия определяется однозначно мировой функцией и дополнительной структурой. Однако, при этом некоторые определения могут оказаться различными.

Итак, принцип теории относительности заключается в утверждении, что пространство событий описывается только одной пространственно-временной структурой (т.е. описывается геометрией, а не обогащенной геометрией). Какая геометрия и какая мировая функция при этом используются –это детали, которые не упоминаются при формулировке принципа. Нерелятивистское описание становится близким к релятивистскому, когда использование временной структуры Т оказывается несущественным по каким-то причинам.

Обычно при нерелятивистском описании обогащенной геометрии пространства событий используется мировая функция S . Если использовать в качестве мировой функции структуру \sigma то описание окажется более приближенным к релятивистскому описанию. Рассмотрим в качестве примера понятие близких событий. Событие (точка) А является близким к событию (точке) В, если точка А находится малой окрестности OB точки В.

T(A,B) = 0 и S(A,B) < \epsilon (3)

В случае, если в качестве мировой функции используется структура \sigma условие (3) записывается в виде

T(A,B) = 0 и -\sigma(A,B) < \epsilon (4)

Ясно, что в силу (1) и T(A,B) = 0 соотношения (3) и (4) эквивалентны.

Если мы желаем определить понятие близости событий в релятивистском случае, то необходимо отбросить ограничение T(A,B) = 0, как ограничение, порожденное несуществующей пространственно-временной структурой. Условие (3) следует отбросить, поскольку оно содержит структуры, не существующие в релятивистском случае. Тогда возникает следующая дилемма: (1) либо нужно отказаться от понятия близких событий (точек) в релятивистской теории, (2) либо определить малую окрестность OB точки В условием

OB = \ set of A satisfying -\sigma(A,B) < \epsilon (5)

OB есть множество точек, прилежащих к световому конусу с вершиной в точке В. Если \epsilon стремится к нулю, то OB превращается в световой конус вершиной в точке В.

Такое представление о близости событий обладает интранзитивностью, т.е. если точка A близка к точке В и точка В близка к точке С, то, вообще говоря, точка А не близка к точке С . Такая ситуация достаточно неожиданна, поскольку в евклидовой геометрии. если точка A близка к точке В и точка В близка к точке С, то точка А близка к точке С . Другими словами, в евклидовой геометрии условие близости точек обладает транзитивностью.

С одной стороны, интранзитивность близости событий в релятивистской концепции пространства-времени очень непривычна и толкает нас к отрицанию понятия близости событий. С другой стороны, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц в соответствии с запаздывающим потенциалом Льенара - Вихерта означает, что частицы взаимодействуют друг с другом только через близкие точки. Это может интерпретироваться в том смысле, что заряженные частицы взаимодействуют только в результате прямого столкновения. При этом, с понятием о близости событий, заимствованным из нерелятивистского описания геометрии пространства-времени оказывается несовместимым то обстоятельство, что близкие события могут оказаться разделенными большими пространственными и временными интервалами и что для любого события на мировой линии частицы найдется близкое событие на мировой линии любой другой частицы, существующей достаточно долго.

В современном изложении теории относительности понятие близких событий не используется. Иногда используют термин «дальнодействие», когда говорят о прямом электромагнитном взаимодействии частиц без рассмотрения электромагнитного поля как переносчика взаимодействия. Иначе говоря, в релятивистской теории неявно используют нерелятивистское понятие близости (3), основанное на пространственном расстоянии в некоторой системе координат (обычно лабораторной), которое не является инвариантной величиной. Например, два события: вспышка сверхновой в удаленной галактике и наблюдение этой вспышки на Земле являются близкими событиями, разделенными нулевым пространственно-временным интервалом. Однако их рассматривают как далекие события, разделенные очень большим пространственным и временным интервалами. Это -- пережиток привычного нам нерелятивистского подхода к описанию физических явлений, который порождает непоследовательность в изложении и восприятии в релятивистской теории пространства-времени, сопровождающуюся необходимостью введения системы координат как опоры нашего восприятия пространства-времени.

Представление о прямом гравитационном и электромагнитном взаимодействии частиц не нуждается во введении гравитационного и электромагнитного полей, которые оказываются свойствами пространства-времени. Движение заряженной частицы в заданном электромагнитном поле математически описывается как свободное движение частицы в заданном пятимерном пространстве-времени Калуцы-Клейна. Представление об электромагнитном и гравитационном полях как о свойствах пространства-времени позволяет уменьшить число существующих сущностей, что позволяет эффективнее работать с динамикой частиц. В этом случае свойства электромагнитного (и гравитационного) поля возникают как свойства пространства-времени и описываются его мировой функцией. Происходит процесс, называемый геометризацией физики.

По идее геометризация физики должна свести описание физических явлений к описанию в терминах одной величины и тем самым упростить построение теории. Поясню это на примере геометрии. Если геометрия строится на основе нескольких аксиом, описывающих свойства разных геометрических объектов, то мы сталкиваемся с необходимостью согласования всех этих аксиом. Математически это означает, что система аксиом должна быть непротиворечива. Это означает, что получение любого утверждения геометрии разными путями должно приводить к одному и тому же результату. Поскольку геометрических утверждений очень много, а путей их получения во много раз больше, то задача установления непротиворечивости данной системы аксиом представляется неподъемной. Насколько я знаю, непротиворечивость системы аксиом доказана лишь для собственно евклидовой геометрии. Что касается римановой геометрии, то исследователи просто верят в ее непротиворечивость, хотя на самом деле это не так. Об остальных геометрических изысках я уж не говорю.

При описании геометрии в терминах и только в терминах мировой функции у нас имеется только одна величина (пусть даже это сложная функция от двух точек). Все остальные утверждения и в величины определяются мировой функцией. Они автоматически изменяются известным образом при изменении мировой функции. Задача состоит лишь в правильном определении мировой функции реального пространства событий. Мы избавлены от выбора многочисленных аксиом и их согласования. В данной ситуации наиболее привлекательной чертой конструкции является ее монизм, т.е. использование одной величины в качестве фундамента теории.

Идея построения единой теории поля А.Эйнштейна привлекательна главным образом своим стремлением к монизму. Однако при построении единой теории поля нельзя избежать описания свойств пространства-времени, что нарушает монизм построения. Идея геометризации физики представляется более реальной, поскольку при этом все силовые поля «загоняются» в геометрию и описываются в терминах мировой функции.
Иначе говоря, идея геометризации ближе к монизму конечной теории, чем идея теории единого поля.

Главным препятствием на пути геометризации физики являются наши убогие знания геометрии, когда мы не умеем описывать геометрию в терминах и только в терминах мировой функции. Мы не можем представить себе геометрию без системы координат, хотя евклидова геометрия излагается в курсе средней школы (учебник Киселева) без упоминания такого понятия, как система координат. Использование системы координат при описании геометрии привносит в описание дополнительную информацию, которой нет в геометрии и от которой нельзя избавиться никаким преобразованием систем координат. Это обусловлено тем, что физическая геометрия (например, дискретная) не имеет определенной (метрической) размерности. Вводя систему координат, мы сами, того не желая, превращаем геометрию в обогащенную геометрию, навязывая ей дополнительные структуры, не существующие в природе.

Геометризация физики приводит к геометризации массы частицы, когда вместо мировой линии частицы и приписываемой ей дополнительной величины (массы), рассматривается мировая цепь, состоящая из одинаковых прямолинейных звеньев. Длина каждого звена представляет собой геометрическую массу \mu, связанную с обычной массой m частицы соотношением
m = b\mu (6)
где b есть некоторая универсальная постоянная. Геометризация массы избавляет нас от дискуссии о природе массы и о связи между инертной и тяжелой массой, поскольку в обоих случаях природа массы и гравитационного поля чисто геометрическая.

При переходе от нерелятивистской динамики к релятивистской были модифицированы динамические уравнения движения частицы, а описание состояния частицы осталось прежним нерелятивистским. В нерелятивистской физике состояние частицы описывается положением частицы и ее импульсом (или точкой в фазовом пространстве координат и импульсов). В релятивистском случае состояние частицы описывается точкой на мировой цепи частицы. При этом информация о направлении мировой цепи в рассматриваемой точке является информацией о состоянии частицы. На первый взгляд, можно определить направление мировой цепи вектором (импульсом) и рассматривать состояние частицы как точку в фазовом пространстве. Однако важным является то обстоятельство, что определенный таким образом импульс, задается в определенной системе координат. Рассмотрение состояния частицы как точки в фазовом пространстве
можно использовать при описании отдельной детерминированной частицы.

Когда рассматривается движение недетерминированной частицы, то рассматривается статистический ансамбль, состоянием которого является плотность состояний. В нерелятивистском случае плотность состояний \rho(x,p) определяется соотношением

dN = \rho(x,p)dVdp (7)

где dN есть число частиц в элементе фазового объема dVdp.
В релятивистском случае плотность состояний определяется вектором j^k(x), определяемым из соотношения

dN = j^k(x)dS_k (8)

где dN есть поток мировых линий через пространственноподобную 3-мерную площадку dS_k. Нерелятивистская плотность состояний \rho(x,p) при надлежащей нормировке может рассматриваться как плотность вероятности нахождения частицы в точке фазового пространства (x,p). Для величины \rho(x,p) можно написать уравнение Лиувилля, и назвать подобное описание вероятностным описанием.

В релятивистском случае плотность состояний j^k(x) является 4-вектором. Она не может интерпретироваться как плотность вероятности чего бы то ни было. В этом случае мы вынуждены описывать статистический ансамбль просто как динамическую систему типа сплошной среды. Такое описание будет динамическим описанием. Разумеется, можно использовать динамическое описание и в нерелятивистском случае. Однако, обычно используют вероятностное описание, полагая, что вероятностное описание является общим видом статистического описания. Это является серьезной концептуальной ошибкой, приводящей к важным последствиям.

Дело в том, что уравнение Шредингера представляет собой статистической описание недетерминированных частиц. Понять это нельзя с точки зрения вероятностного описания, потому что случайная составляющая движения шредингеровской частицы является релятивистской, хотя среднее движение этой частицы является нерелятивистским. Принято считать, что нельзя рассматривать уравнение Шредингера как уравнение, реализующее статистическое описание недетерминированной частицы, потому что недетерминированная частица описывается уравнением, линейным по плотности вероятности, тогда как шредингеровская частица описывается уравнением линейным по амплитуде вероятности. То обстоятельство, что шредингеровская частица является релятивистской (по случайной составляющей) и ее надо описывать с помощью динамического статистического описания (а не вероятностного), как-то не приходит в голову.

Недетерминированость частицы может быть обусловлена геометрией пространства-времени. Тогда квантовые эффекты могут быть сведены к геометрическим эффектам, а квантовая механика может быть изложена в терминах мировой функции, что означает прогресс в геометризации физики. Однако это оказывается невозможным, если описание состояния частицы окажется нерелятивистским при релятивистских динамических уравнениях. Возникает вопрос, почему такая простая вещь как последовательное релятивистское описание движения частиц не было получено в течение почти столетнего развития теоретической физики? Более того, почему работы, содержащие развитие последовательного релятивистского описания, появившиеся в последние годы двадцатого века, не привлекло внимания научной общественности? Краткий ответ будет такой. Мы имеем дело с феноменом Галилея, когда правильные работы, меняющие фундаментальные положения существующей теоретической физики не воспринимаются научным сообществом. Развитие теоретической физики происходит по пути, ведущем в тупик. Теоретическая физика оказывается в кризисе.

Попробуем понять, как появилась непоследовательность в развитии теории относительности, когда динамические уравнения были релятивистскими, а уравнение состояния частицы оставалось нерелятивистским. Появление теории относительности в начале двадцатого века не было принято всеми физиками. Изменение фундамента физики воспринималось с большим трудом. Вначале релятивистские эффекты воспринимались просто как поправки к нерелятивистской физике. Старались не менять понятия нерелятивистской физики, или менять их в минимальной степени. Динамические уравнения релятивистской физики, содержащие характерные радикалы, были получены в результате модификации нерелятивистских динамических уравнений. Описание состояния частицы оказалось возможным оставить нерелятивистским, поскольку оно было пригодно для описания детерминированных частиц. Об описании недетерминированных частиц первое время не задумывались. В результате оно осталось нерелятивистским. В дальнейшем изменить его было трудно, во-первых, потому что никто не думал, что нерелятивистские квантовые частицы следует считать релятивистскими, а во-вторых, потому что к нерелятивистскому описанию состояния частицы привыкли и считали его релятивистским. Одним словом, считалось, что с фундаментом релятивистской динамики частиц все в порядке, и решение проблемы выхода из кризиса надо искать не в фундаменте теоретической физики, а на ее поверхности.

Считалось, что нужно изобретать новые гипотезы о строении элементарных частиц. В конечном счете, многие нововведения типа струн и увеличения размерности пространства-времени представляли собой модификации геометрии пространства-времени, но не в фундаменте геометрии, а на ее поверхности при сохранении убогого знания и понимания основ геометрии (геометрия рассматривалась как логическое построение, а не как наука о расположении геометрических объектов). Такой подход выродился в подгоночный менталитет теоретиков, когда теоретик отказывается рассматривать какие-либо модификации теории, если они не приводят немедленно к объяснению новых экспериментов и экспериментиков. От изменений фундамента теории до объяснения экспериментов долгий путь. По этой причине лишь немногие решались затрагивать фундамент современной теоретической физики. Процветали верхушечные теории, объясняющие один-два эксперимента и несостоятельные при объяснении других экспериментов. Так выглядит феномен Галилея в современной теоретической физике.