Моя дискуссия с Юрием Ивановичем Маниным состоит из четырех писем. Мои письма написаны на русском языке. Ответные письма Ю.И. Манина написаны на английском языке. По-видимому, это обстоятельство обусловлено тем, что Юрий Иванович живет в Германии, где могут быть проблемы с кириллической клавиатурой (но, может быть, дело не в этом). Я не стал переводить на русский язык эти письма, опасаясь исказить их смысл при переводе. Имеется согласие Ю.И.Манина на публикацию нашей переписки на моем сайте.

20.09.2008

Уважаемый Юрий Иванович!

Я познакомился с интервью, которое Вы дали Михаилу Гельфанду в конце сентября 2008 (http://www.polit.ru/science/2008/10/16/manin.html ) Интервью мне понравилось. Однако, я не очень согласен с его заключительной частью, касающейся перспектив развития математики. Я отдаю себе отчет в том, что это только оценка, которая может быть разной у специалистов в разных областях науки (я – физик-теоретик, а Вы - математик), но, тем не менее, правильная оценка перспективы развития математики важна для всех.

Напомню Вам, что Вы ответили на вопрос:

– А что будет в ближайшие двадцать лет?-

Ваш ответ:

« Я не предвижу никаких революционных изменений, потому что, на мой взгляд, революционных изменений не было и за этот трехсотлетний период. Каждый раз были новые могучие интуиции, но математика страннейшим образом сохранялась. Это тоже тема моей непроизнесенной лекции.... И поэтому я не предвижу ничего такого экстраординарного в ближайшие двадцать лет. Происходит перестройка того, что я называю основаниями математики, не в нормативном смысле слова, а как свод подчас даже не эксплицитных правил, критериев ценности, способов представления результатов, который присутствует в мозгу у работающего математика здесь и сейчас, в каждое конкретное время…»

Я, физик-теоретик, занимающийся геометризацией физики. В конце девятнадцатого и в начале двадцатого века геометризация физики была доминирующим направлением развития теоретической физики и развивалась очень успешно. Объяснение законов сохранения свойствами пространства событий (пространства-времени), специальная теория относительности, ОТО, геометрия Калуцы-Клейна - все это последовательные этапы геометризации физики. В тридцатых годах двадцатого века программа геометризации физики споткнулась при попытке проникнуть в геометрию микромира. Реально была проблема объяснения дифракции электронов, т.е. того, почему при проходе через узкую щель движение электрона становится многовариантным (стохастическим). Для объяснения следовало использовать многовариантную геометрию пространства-времени. Однако в то время многовариантная геометрия не была известна, и многовариантность была приписана динамике (квантовой), благо к тому времени квантовая механика уже была известна. Неудача дальнейшей геометризации физики была обусловлена тем, что мы плохо знали геометрию.

Я понимаю, что подобное утверждение в устах физика-теоретика может показаться обидным геометрам. Однако, тут ничего не поделаешь. Как говорится: «Хоть дорог мне Платон, но истина дороже». Дело в том, что в своих исследованиях я использую ньютоновскую исследовательскую стратегию: «Hypotheses non fingo». На практике это означает, что прежде всего надо найти ошибки, сделанные предшественниками, и исправить их. (гипотезы – потом, если в них будет потребность). Совершенно ясно, что никто не любит, когда ему указывают на его ошибки. По этой причине при использовании такой исследовательской стратегии нужно сразу выбирать, что тебе дороже, наука или научная карьера, потому что обнаружение серьезных ошибок несовместимо с успешной научной карьерой. Коллеги не простят обнаружения серьезных ошибок, обесценивающих их работы и направления, в котором они ведут исследования. Научная карьера в конечном итоге зависит, как известно, от мнения коллег. С другой стороны, стратегия нахождения ошибок является наиболее эффективной с научной точки зрения, потому что ошибку надо исправлять в любом случае. Альтернативная стратегия выдвижения гипотез существенно менее эффективна, потому что справедливость гипотезы надо еще проверить.

Я думаю, что Вы уже догадались, что я намерен говорить об ошибках в геометрии и о том, в какой мере они серьезны и как их исправление повлияет на дальнейшее развитие математики.

Я начну с того, что я понимаю под геометрией. С точки зрения физика геометрия есть наука о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве или в пространстве-времени. Для того, чтобы задать геометрию достаточно задать расстояния между всеми точками пространства. После этого геометрия определена, никакой информации больше не нужно (цвет точек и их температура не имеют значения для геометрии, понимаемой как наука о расположении геометрических объектов). Как известно, у математиков есть понятие метрического пространства, где задается расстояние и больше ничего. В метрическом пространстве можно построить сферу и больше ничего на ум не приходит. Чтобы построить в метрическом пространстве прямую (кратчайшую), надо наложить на метрику дополнительные условия в виде аксиомы треугольника и еще ряда условий. Тогда можно будет построить прямую, но как построить другие геометрические объекты, остается неясным. Одним словом, метрическую геометрию (где можно было бы строить все те геометрические объекты, которые можно построить в евклидовой геометрии) построить не удается.

Математики под геометрией понимают некоторую логическую конструкцию, которую можно построить на основе системы аксиом и формальной логики. Например, симплектическая геометрия отличается от евклидовой тем, что в симллектической геометрии квадратичная форма кососимметричная, а в евклидовой – симметричная. С точки зрения физика, симплектическая геометрия – это, вообще, не геометрия, т.е. не наука о расположении геометрических объектов в пространстве. С точки зрения физика, симплектическая геометрия – это некая математическая модель, полезная в некоторых задачах динамики и пр., но к геометрии она не имеет прямого отношения. С евклидовой геометрией у симплектической геометрии общее только то, что обе они задаются на линейном векторном пространстве. Но как будет ясно из дальнейшего, линейное пространство имеет отношение только к евклидовой геометрии, но не к самой геометрии, понимаемой как наука о расположении геометрических объектов.

Физик относится к геометрии как к полезному инструменту, позволяющему ему работать с физическими явлениями, происходящими в пространстве событий (пространстве-времени). При проникновении в микромир становятся важными такие свойства геометрии, как возможная дискретность пространства и ограниченная делимость его геометрических объектов. Оказывается, что реальное пространство событий оказывается зернистым, т.е. частично непрерывным и одновременно частично дискретным, что совершенно невозможно представить себе человеку, воспитанному на идее, что геометрия является непрерывной. Основанием для утверждения о непрерывности геометрии пространства событий является то обстоятельство, что мы умеем работать только с непрерывными геометриями (в значительной степени по причине того, что евклидова геометрия непрерывна, а все другие геометрии получаются в результате модификации евклидовой геометрии).

Существует два способа построения геометрических объектов: (1) построение геометрического объекта из простейших элементов (кирпичей: точка, отрезок, угол), (2) построение одного геометрического объекта из другого путем деформации). Первый способ был предложен еще Евклидом, который формализовал его, представив в виде логической конструкции, где роль кирпичей играли аксиомы, а формальная логика служила в качестве инструмента, обеспечивавшего построение геометрического объекта. В современной геометрии используется только первый способ. В результате получаются только аксиоматизируемые геометрии, т.е. такие геометрии, которые могут быть выведены с помощью формальной логики из некоторой аксиоматики. Неаксиоматизируемых геометрий современные математики не признают, потому что не знают как их можно построить. Итак, формальная логика является непременным атрибутом аксиоматизируемой геометрии.

Второй способ (метод деформации) позволяет построить геометрический объект, если, во-первых, он уже построен для какого-либо случая, а, во-вторых, если определено расстояние между всеми точками и задание расстояния полностью определяет геометрию. Геометрию, полностью определяемую мировой функцией (это – половина квадрата расстояния), я называю физической геометрией, потому, что она наилучшим образом подходит для описания свойств пространства событий. (Термин «мировая функция» был введен Сингом для описания римановой геометрии пространства-времени. Он удобнее понятия метрики, во-первых, потому, что мировая функция вещественна даже в пространстве Минковского, а во-вторых, термин метрика уже занят. Он предполагает выполнение аксиомы треугольника, а мировая функция этого не предполагает.)

Второй метод (деформации) используется следующим образом. Рассматривается эталонная геометрия, которая является одновременно аксиоматизируемой и физической. Роль эталонной геометрии может выполнять собственно евклидова геометрия, которая обладает упомянутыми свойствами. В эталонной геометрии строятся все возможные геометрические объекты и все утверждения эталонной геометрии путем вывода их из аксиоматики эталонной геометрии. Все они выражаются в терминах мировой функции эталонной геометрии. Если теперь во всех утверждениях эталонной геометрии заменить мировую функцию эталонной геометрии на мировую функцию любой другой физической геометрии, то получатся все утверждения этой физической геометрии, т.е. сама физическая геометрия. Замена одной мировой функции на другую, представляет собой деформацию. Деформация является очень общей (а не только непрерывной). Это позволяет получать дискретные и зернистые геометрии в результате деформации непрерывной эталонной геометрии.

Полученная в результате деформации, физическая геометрия является, вообще говоря, неаксиоматизируемой, т.е. она не может быть выведена из какой-либо аксиоматики. Это связано с тем, что транзитивное отношение эквивалентности, существовавшее в эталонной геометрии, становится интранзитивным после деформации, а все аксиоматизируемые геометрии обладают транзитивным отношением эквивалентности. Кроме того, практически все физические геометрии являются многовариантными. Извините, я не буду объяснять, что это такое, а сошлюсь на работу Rylov Yu. A., «Multivariance as a crucial property of microcosm» http://arXiv.org/abs/0806.1716 русс. версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/mcpmc2rw.pdf

Число неаксиоматизируемых геметрий много больше числа аксиоматизируемых. Практически все интересные с физической точки зрения геометрии пространства событий являются неаксиоматизируемыми. Оказывается, что квантовые эффекты могут быть просто объяснены как чисто геометрические эффекты в многовариантной геометрии пространства событий, если эта геометрия выбрана надлежащим образом и содержит квантовую постоянную в качестве параметра.

Наибольший интерес представляет то обстоятельство, что наряду с многовариантнтностью существует еще нуль-вариантность, которая представляет собой некий дискриминационный механизм, позволяющий получить дискретные значения параметров элементарных частиц. Аналогичный дискриминационный механизм (правда, основанный не на геометрии, а на свойствах электромагнитного излучения) существует в физике электронных оболочек атомов. Он приводит к дискретным частотам излучаемых атомом электромагнитных волн.

Итак, то обстоятельство, что математики (и физики тоже) игнорируют неаксиоматизируемые геометрии с интранзитивным отношением эквивалентности, является, на мой взгляд, серьезным заблуждением (ошибкой), которое приводит к тому, что теория элементарных частиц развивается совсем не в том направлении, в каком следует ее развивать. Мне представляется, что возможность построения неаксиоматизируемых геометрий является серьезным продвижением в математике (геометрии). Но это с моей точки зрения, точки зрения физика. Я допускаю, что у математиков, могут быть свои соображения на этот счет. Мне хотелось бы их знать.

Замечу, что главное (топологическое) направление развития современной не-евклидовой геометрии выглядит очень сомнительным просто потому, что пытаются задать топологию независимо от задания мировой функции. В физической геометрии топология является следствием задания мировой функции, и она не может задаваться независимо. В частности, риманова геометрия, построенная традиционным способом (впрочем, как и методом деформации), демонстрирует многовариантность, которую подавляют запретом абсолютного параллелизма. Многовариантность физической геометрии автоматически означает интранзитивность отношения эквивалентности в этой геометрии и, следовательно, ее неаксиоматизируемость. Г. Перельман, по-видимому, понял это, и его странное поведение, связанное с его известными работами по доказательству гипотезы Пуанкаре, обусловлено попытками дезавуировать эти работы, поскольку они основаны на использовании римановой геометрии, которую он, по-видимому, квалифицировал как непоследовательную.

Кстати, мое решение написать Вам это письмо во многом обусловлено тем, что Вы в своем интервью квалифицировали Перельмана, как выдающегося математика, поставив его на первое место.

Если мое письмо как-то изменило Вашу оценку перспективы развития математики (геометрии) в ближайшей перспективе, то мне было бы интересно узнать Вашу точку зрения (математика). Впрочем, мне интересно знать Вашу точку зрения в любом случае.

В средине девятнадцатого века все математики дружно предали анафеме не-евклидову геометрию Лобачевского-Бойяи. Протест был столь сильным, что даже Гаусс не решился публиковать работы по не-евклидовой геометрии. Как свидетельствует Феликс Клейн, эти работы были найдены в столе Гаусса после его смерти. Какую крамолу находили тогдашние математики в не-евклидовой геометрии? Этот вопрос остался для меня неясным. В дальнейшем, не-евклидова геометрия была тихо реабилитирована. Этот вопрос был бы очень интересен в свете теперешней проблемы неаксиоматизируемых геометрий.

Может быть, у Вас есть какая-нибудь информация по этому вопросу? Поделитесь, пожалуйста.

С уважением!

Ю.А. Рылов

Рылов Юрий Аркадьевич, ст.н.с. Института проблем механики РАН

Email: rylov@ipmnet.ru или yrylov2006@yandex.ru

Web site: http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/yrylov.htm

23.10.08

Dear Professor Rylov,

thanks for your kind words. I also appreciate your

attitude regarding career and Perelman.

However, my views on mathematics, physics, and their

mutual relationship seem to be very different from yours.

Here are some points that are explicit or implicit in your

letter with which I must take issue.

1) Re physics: you seemingly reject quantum mechanics.

Then you should start explaining, using your intuition,

say, classical phenomena such as emission and

other spectra, where Heisenberg operators and

Scroedinger equations appear. Whatever your space-time is,

basic objects are quantum spaces of states,

operator observables etc.

2) Re mathematics: I do not think that

mathematicians ignore any kind of geometric

notions that might be helpful in physics.

I do not understand in what sense you speak about

"non-aximatizable" geometries or whatever:

"axioms" in modern mathematics are simply

definitions of basic terms of discourse

(there are many discourses) in a given context.

If you cannot describe your basic terms, your

discourse is non-mathematical. If you can,

it is "axiomatizable".

The same refers to "intransitive equivalence relations".

If it is eqquivlence relation, according to standard usage,

it is transitive. Otherwise it better be called

by a different name, although the name is secondary

concern: but its postulated properties, "axioms",

must be stated explicitly. After which you start

showing that this new gadget is useful; unless you

succeed in this, it will still be "ignored".

Anyway, I used much more words, that in the interview,

in my collection of essays "Mathematics as metaphor",

published in 2007 by MTsNMO.

Best regards,

Yuri Manin.

24.10.2008

Уважаемый Юрий Иванович!

Спасибо за Ваш ответ. К сожалению, я не согласен с Вами в некоторых пунктах. Если вы не будете возражать, Я изложу свою точку зрения. Это мне представляется важным с точки зрения физика. Различие между точкой зрения математика и физика состоит в следующем. Математику важно, чтобы концепция, которую он развивает, была логически последовательна и приводила к вполне определенным результатам. В какой степени она может быть применена к исследованию явлений реального мира – это вопрос второстепенный (Не подходит – не применяй!). Иначе говоря, инструмент должен быть добротным, а уж как его использовать – это вопрос не к математику.

Для прикладников, в частности, для физиков – теоретиков вопрос ставится несколько иначе. Физику недостаточно того, что он применяет совершенный математический аппарат, ему еще нужно, чтобы математический аппарат был адекватным физической задаче. Нужно, чтобы применение математического аппарата продвигало исследование в правильном направлении. Даже очень талантливый физик-исследователь не достигнет успеха, если будет двигаться в неправильном направлении.

Вы пишете в своем письме:

Here are some points that are explicit or implicit in your

letter with which I must take issue.

1) Re physics: you seemingly reject quantum mechanics.

Then you should start explaining, using your intuition,

say, classical phenomena such as emission and

other spectra, where Heisenberg operators and

Scroedinger equations appear. Whatever your space-time is,

basic objects are quantum spaces of states,

operator observables etc.

Было бы неправильно утверждать, что я отвергаю квантовую механику. Скорее я ее обосновываю. Поясню это на примере. В начале девятнадцатого века для объяснения тепловых явлений Карно придумал аксиоматическую термодинамику, где ответственной за все тепловые явления была такая мифическая субстанция как теплород. Разумеется, термодинамика может существовать и без ссылки на теплород, просто как некая аксиоматическая конструкция. В дальнейшем было показано, что тепло есть просто хаотическое движение молекул, а теплород есть просто некоторое понятие, аксиоматически описывающее свойства этого хаотического движения. Спрашивается, означает ли появление статистической физики и объяснение теплорода как хаотического движения молекул, что мы теперь не признаем термодинамику? Отнюдь. Термодинамика как была, так она и осталась. В многих практических случаях она успешно применяется в ее аксиоматической форме (например, в газовой динамике, правда, о теплороде обычно не упоминают). Отказ от теплорода, как фундаментального понятия, важен для дальнейшего развития теории тепловых процессов.

Я обосновал квантовую механику как статистическую теорию. Естественно, что для этого понадобилось объяснить, что такое волновая функция. Без этого не удалось бы объяснить в терминах классической механики такую аксиоматическую концепцию как квантовая механика . Оказалось, что волновая функция - это просто способ описания идеальной сплошной среды, состоящей из стохастически движущихся частиц. Для такого объяснения понадобилось лишь проинтегрировать уравнения идеальной сплошной среды. В результате этого интегрирования появились три произвольные функции от потенциалов Клебша, из которых и строится волновая функция Rylov Yu.A. "Spin and wave function as attributes of ideal fluid". (Journ. Math. Phys. 40, pp. 256 - 278, (1999)). Электр. версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/swfaif2.ps . (Это можно пояснить следующим образом. Хорошо известно, что существует гидродинамическая форма уравнения Шредингера. Для ее получения надо дифференцировать уравнение Шредингера. Тогда для перехода от гидродинамики к уравнению Шредингера «гидродинамику» надо нтегрировать). В результате была получена статистическая версия квантовой механики (очень похоже на случай с термодинамикой). Я не думаю, что это можно рассматривать, как непризнание квантовой механики, скорее, это ее обоснование в терминах классической физики. О геометрии речь сначала не шла, но было непонятно, какова природа стохастического движения частиц. Когда, выяснилось, что стохастическое движение частиц непринужденно объясняется многовариантностью геометрии пространства-времени, то у меня сразу прорезался интерес к многовариантным геометриям (вначале я называл их трубчатыми геометриями или Т-геометриями, поскольку в них вместо отрезков прямых появлялись полые трубки) Rylov Yu.A.: "Non-Riemannian model of the space-time responsible for quantum effects". Journ. Math. Phys. 32(8), 2092-2098, (1991). В результате было получено уравнение Шредингера, а объяснение квантовых эффектов было лишь делом техники.

Далее Вы пишете:

2) Re mathematics: I do not think that

mathematicians ignore any kind of geometric

notions that might be helpful in physics.

Я согласен, что математики не игнорируют понятий, используемых физиками. Однако, лучше было бы, если бы они не слепо следовали за понятиями физиков, а пытались бы их осмыслить, выделяя среди них фундаментальные и производные. Впрочем, может быть, это не их дело. Во всяком случае, я их в этом не упрекаю.

Далее Вы пишете:

I do not understand in what sense you speak about

"non-aximatizable" geometries or whatever:

"axioms" in modern mathematics are simply

definitions of basic terms of discourse

(there are many discourses) in a given context.

If you cannot describe your basic terms, your

discourse is non-mathematical. If you can,

it is "axiomatizable".

Геометрия (как наука о взаимном расположении геометрических объектов) по определению есть (континуальное) множество утверждений о всех свойствах всех геометрических объектов. Если все эти утверждения могут быть выведены с помощью правил формальной логики из конечного (счетного) подмножества этих утверждений, то такая геометрия называется аксиоматизируемой, упомянутое подмножество утверждений (аксиом) называется аксиоматикой. Сверх того, требуется, чтобы результат вывода любого утверждения не зависел от способа его дедукции (вывода). Если это требование выполнено, то аксиоматика называется непротиворечивой. Ни откуда не следует, что всякая геометрия может быть аксиоматизирована. Более того, если предположить, что геометрия является аксиоматизируемой (а это предполагается в теореме Геделя), то из теоремы Геделя следуют парадоксальные выводы. Однако, насколько я понимаю, математики никогда не подвергают сомнению возможность аксиоматизации геометрии. Для них это - очевидное утверждение. Я связываю это с тем обстоятельством, что они не знают другого способа построения геометрии кроме дедукции утверждений геометрии из аксиоматики. По этой причине для них не существует неаксиоматизируемых геометрий.

Понятие неаксиоматизируемой геометрии появилось вместе с принципом деформации, который позволяет построить геометрию методом деформации эталонной геометрии. Сама эталонная геометрия является одновременно аксиоматизируемой и физической (т.е. полностью описываемой мировой функцией). Собственно евклидова геометрия может служить в качестве эталонной геометрии. Все утверждения евклидовой геометрии выражаются в терминах евклидовой мировой функции. После деформации (замены евклидовой мировой функции на мировую функцию нужной геометрии) получаются все утверждения новой физической геометрии. Важно, что при построении физической геометрии методом деформации формальная логика не используется, т.е. не доказывается никаких теорем, и не возникает проблем совместности. Все это было сделано при получении эталонной геометрии. Единственной проблемой является представление эталонной геометрии в терминах мировой функции. Однако, реально это проблемы собственно евклидовой геометрии, и они решаются при хорошем знании евклидовой геометрии. Отмечу еще, что построение геометрии методом деформации не содержит ссылки на вспомогательные (не-геометрические ) понятия: многообразие, размерность система координат, линейное пространство. После деформации эталонная геометрия превращается, вообще говоря, в многовариантную и поэтому неаксиоматизируемую геометрию.

Неаксиоматизируемых геометрий существенно больше, чем аксиоматизируемых геометрий. Например, среди изотропных однородных и плоских геометрий в классе римановых геометрий имеется только одна геометрия – геометрия Минковского, описываемая мировой функцией \sigma_M, тогда как геометрия, описываемая мировой функцией F(\sigma_M), где F – произвольная функция, является тоже однородной и изотропной физической геометрией. С точки зрения математика, игнорирование неаксиоматизируемых геометрий отражает только неполноту описания геометрий. Возможно, что с точки зрения математика, это не является ошибкой. Однако, с точки зрения физика, подобная неполнота является серьезным дефектом, поскольку она не позволяет рассмотреть все виды пространственно-временых геометрий. Поскольку реальное пространство-время не обязано описываться обязательно римановой геометрией, то работа с римановой геометрией пространства-времени вынуждает физиков идти на всякие изыски в виде экзотических гипотез для того, чтобы как-то согласовать усеченное геометрическое описание с реальным положением вещей.

Далее Вы пишете:

The same refers to "intransitive equivalence relations".

If it is equivlence reelation, according to standard usage,

it is transitive. Otherwise it better be called

by a different name, although the name is secondary

concern: but its postulated properties, "axioms",

must be stated explicitly. After which you start

showing that this new gadget is useful; unless you

succeed in this, it will still be "ignored".

Рассмотрим для простоты равенство (эквивалентность) двух векторов в собственно евклидовой геометрии. Оно описывается n уравнениями, где n – размерность евклидовой геометрии и означает равенство составляющих двух векторов в некоторой декартовой системе координат. В физической геометрии эквивалентность двух векторов PQ и SR описывается всегда двумя уравнениями

(PQ . SR) = | PQ| | SR|, | PQ| = | SR| (*)

где (PQ . SR ) и | PQ|, | SR| суть соответственно скалярное произведение векторов и их длины. Все эти величины выражаются в собственно евклидовой геометрии через мировую функцию от точек P,Q,S,R. При этом соотношения эквивалентности состоят из двух уравнений для евклидовой геометрии любой размерности. Эти уравнения выражаются только через геометрические величины мировую функцию и точки. Они не содержат ссылки ни на линейное пространство, ни на систему координат, ни на размерность. В евклидовом пространстве традиционное определение эквивалентности (через составляющие векторов) эквивалентно определению (*). Однако, при деформации традиционное определение теряет смысл, потому что в деформированной геометрии может не быть линейного пространства, может не быть размерности и нельзя будет ввести декартову систему координат. Соотношения эквивалентности (*) имеют смысл в любой физической геометрии, т.е. геометрии полностью описываемой мировой функцией.

В собственно евклидовой геометрии в точке P имеется один и только один вектор PQ, эквивалентный вектору SR . Это является следствием особых свойств мировой функции собственно евклидовой геометрии. Это свойство обусловлено аксиоматизируемостью собственно евклидовой геометрии и ее одновариантностью. Если деформировать евклидову геометрию, т.е. заменить мировую функцию, то с новой мировой функцией в точке P будет, вообще говоря, много векторов PQ, PQ’, PQ”,… эквивалентных вектору SR , но не эквивалентных между собой. Это и есть многовариантность. Легко видеть, что в случае многовариантности транзитивность отношения эквивалентности нарушается, поскольку SR= PQ и SR= PQ’ , но PQ не равно, PQ’. Это уже интранзитивность.

Предлагается не считать определение (*) определением эквивалентности векторов, придумав для него другое название. Но почему? Потому что традиционное определение эквивалентности придумано раньше? Но традиционное определение эквивалентности пригодно только для геометрий, для которых можно ввести линейное пространство. Определение эквивалентности (*) является более общим, и ему следует отдать предпочтение.

Вообще, существуют три разных представления собственно евклидовой геометрии, различающиеся числом базовых объектов:

(1) евклидово представление, базовые объекты (точка, отрезок, угол). Оно изучается в средней школе.

(2) векторное представление, базовые объекты (точка, отрезок). Оно изучается в высших учебных заведениях.

(3) sigma-представление один базовый объект – точка. Оно пока нигде не изучается..

В векторном представлении имеется вспомогательная структура, называемая линейным векторным пространством с заданным на нем скалярным произведением. Эта структура позволяет построить угол и перейти к евклидову представлению.

В sigma-представлении имеется вспомогательная структура, называемая мировой функцией. Она позволяет построить угол и отрезок. Так вот линейное векторное пространство – вспомогательная структура, а вовсе не геометрия, как принято думать. Традиционное определение эквивалентности - это определение в рамках векторного представления, тогда как определение (*) – это то же самое определение, но данное в рамках sigma-представления. Если интересны детали, см. Rylov Yu., A Different conceptions of Euclidean geometry. t http://arXiv.org/abs/0709.2755 русс. версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/dreg1rw.pdf

Далее Вы пишете:

Anyway, I used much more words, that in the interview,

in my collection of essays "Mathematics as metaphor",

published in 2007 by MTsNMO.

К сожалению, я - физик, и не мог расшифровать, что означает ссылка. Если имеется электронная версия, то я предпочел бы ее.

С наилучшими пожеланиями!

Ю.А. Рылов

06.11.08

Dear Professor Rylov,

I am sorry, but I am still not convinced by your arguments.

Best regards,

Yu. Manin.