Аннотация
Околонаучная байка - это нечто
среднее между научной статьей и мемуарами. Кроме рассуждений о науке байка
содержит информацию, неуместную в научной статье. Эта информация обращена не к логике читателя,
а к его эмоциям и ассоциациям . Дело в том, что при попытке преодолеть
предрассудки, иногда встречающиеся в науке, обычная логика не помогает (или не
очень помогает), и нужно что-то еще кроме логики для преодоления предрассудка.
Иногда предрассудок является результатом
неправильных ассоциаций. Иногда у предрассудка иные причины. Что именно нужно
для преодоления предрассудка, я не знаю и надеюсь, что описание того, как я
преодолевал предрассудки, поможет заинтересованному читателю тоже их
преодолеть.
В 1958 году я был студентом пятого курса физфака МГУ и занимался общей теорией относительности и римановой геометрией, как математическим аппаратом общей теории относительности (ОТО). Я обратил внимание на то любопытное обстоятельство, что обычно геодезическая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Но это так, если производить описание в терминах метрического тензора. Однако, если известно расстояние для каждой пары точек риманова пространства, то геодезическая описывается, как решение системы алгебраических уравнений. Оба эти факта общеизвестны. Мне пришла в голову мысль, что это, по-видимому, означает, что описание в терминах расстояния более эффективно, чем описание в терминах метрического тензора. Кроме того, описание в терминах дифференциальных уравнений чувствительно к непрерывности пространства, тогда как описание в терминах алгебраических уравнений не чувствительно к непрерывности пространства. Одним словом, у меня возникла мысль описывать риманово пространство в терминах расстояния, которое определяется как интеграл, взятый вдоль геодезической, соединяющей точки, между которыми вычисляется это расстояние.
В течение весны и лета 1958 года я создал соответствующий математический аппарат, основным объектом которого была мировая функции, т.е. половина квадрата расстояния. То, что половину квадрата расстояния называют мировой функцией, я не знал и употреблял для этой величины термин «конечный интервал». Мои первоначальные ожидания оправдались. Использование мировой функции как основного объекта математического аппарата римановой геометрии действительно оказалось очень эффективным. В частности, оказалось, что мировая функция риманова пространства не может быть произвольной симметричной функцией точек.
Мировая функция риманова пространства удовлетворяла некоторой системе уравнений, содержащей только мировую функцию и ее производные по обоим аргументам. Метрический тензор не входил в эти уравнения. Он влиял на мировую функцию через начальные условия. Иначе говоря, если взять решение этой системы уравнений, выбрав его таким образом, чтобы квадратная матрица, составленная из первых производных по координатам обеих точек, в совпадающих точках (т.е. при нулевом расстоянии между точками), совпадала с матрицей метрического тензора, то полученная таким образом мировая функция описывала риманову геометрию с заданным метрическим тензором. Работа была послана в 1959 году в журнал Известия ВУЗов, Математика, где и была опубликована в 1962 году (№.3(28), стр. 131-142). Прежде чем послать работу, я рассказал ее профессору. Н.В.Ефимову, руководителю семинара по геометрии в целом. Он внимательно выслушал мой рассказ и был несколько озадачен, но ничего не сказал.
Прежде чем
работа была опубликована, произошло событие, оказавшее сильное влияние на
судьбу моих дальнейших исследований. Весной 1960 года, когда я уже учился в
аспирантуре, один из моих коллег сообщил
мне, что в Ленинской библиотеке появилась новая книга Синга (J.L. Synge,
Relativity: the General, Theory, 1960,
Я использовал дифференцирование мировой функции по обоим аргументам (координатам двух точек), и это позволило получить для мировой функции риманова пространства дифференциальное уравнение, не содержащее метрического тензора. Кроме того, мне удалось ввести производную в каждом плоском пространстве, касательном к риманову пространству. Касательных пространств было много. В каждой точке риманова пространства строилось касательное пространство, и мировая функция определяла геодезическое отображение риманова пространства на каждое из касательных пространств и ковариантные производные в каждом из касательных пространств. Отображение возникало совершенно формально и означало, что мировая функция является конечным обобщением бесконечно малого интервала, являющегося основным объектом исследования в римановой геометрии. Впоследствии мой официальный оппонент К.П. Станюкович, известный своей экстравагантностью, в числе прочего заявил на защите моей кандидатской диссертации: «То, что диссертант использовал мировую функцию для описания гравитационного поля – это все мура, а вот формализм, который он придумал это – стоящее дело». Таким образом, выбор направления исследования отличал мое исследование от исследования Синга. Выбор направления исследования с одной стороны является неформальным элементом всякого исследования, а с другой стороны выбор направления исследования (стратегии) в значительной степени определяет результат исследования. (Разумеется, я говорю о фундаментальных работах, потому что в прикладных работах направление исследования во многом определяется поставленной целью).
Из этого случая я сделал для себя два вывода. Во-первых, я осознал, что, видимо, Бог не обделил меня даром исследователя, если я, будучи еще студентом, за полгода сумел сделать то, что такому известному исследователю как Синг не удалось сделать за четверть века. Второй вывод был парадоксальным, но я ощутил его всем своим существом. Я осознал, что если бы я знал об исследованиях Синга, то я просто не стал бы заниматься исследованием мировой функции и не придумал бы никакого формализма. Иначе говоря, я осознал, что не всякое предварительное знание влияет на меня положительно. Я понял, что предоставленный самому себе, я почему-то выбираю другое направление исследования, отличное от того, которое выбирают другие исследователи. Иногда мой выбор направления исследования оказывается более эффективным. Из этого следовало также то, что мне будет трудно работать под чьим-либо руководством, когда тебе говорят: «Делай это и делай так». Кроме того, я осознал, что доскональное изучение текущей литературы и соревнование с коллегами в исследовании противопоказано результативности моих исследований. Одним словом, я обнаружил у себя то, что можно было бы назвать комплексом диссидента. Коль скоро я наделен этим комплексом, его нужно было правильно использовать, поскольку у него были как положительные, так и отрицательные стороны. Например, тот факт, что я мало читал, и сознательно не изучал предварительно всей литературы по исследуемому вопросу, а ограничивался изучением основ, приводил или мог приводить к обвинениям в том, что я не знаю таких-то результатов, и не сослался на того-то.
Вообще-то, я знал, что такие выдающиеся исследователи как Э.Ферми и А.Эйнштейн очень мало читали, по крайней мере, в конце свой жизни. Я это интерпретировал в том смысле, что исследователям такого калибра легче и проще повторить проведенные исследования, чем разыскивать и читать многочисленные работы, разбросанные по разным журналам.. Однако то, что имеющиеся знания об исследованиях (а главное, о направлении исследования) могут препятствовать правильному выбору направления исследования, мне как-то в голову не приходило. Когда я обнаружил это, то был удивлен и несколько обескуражен.
Я поделился моим открытием со своим (ныне покойным) отцом, и он подтвердил мне, что это факт известный, хотя и не очень широко. В качестве примера он привел случай, когда И.В.Курчатов, научный руководитель атомного проекта в СССР, получив разведывательную информацию из КГБ, не сообщал ее детали своим починенным, работавшим на созданием атомной бомбы. Вместо этого он сообщал им идеи и общее направление исследования. Мотивация была очень простая. Человек, получивший результат самостоятельно, лучше понимает этот результат и лучше владеет вопросом, чем тот, которому этот результат просто сообщили. Кроме того, при подобном подходе можно было отделить творческих людей от простых исполнителей.
Но откуда все это было известно моему отцу? Дело в том, что мой отец волею судьбы и ЦК ВКП(б) был вынужден работать в КГБ в качестве одного из двух научных сотрудников, работавших в конце сороковых годов в этой организации. До этого мой отец занимался космическими лучами, т.е. был специалистом в той области, из которой в августе 1945 года рекрутировались физики для осуществления советского атомного проекта. И.В.Курчатов первоначально хотел взять моего отца к себе работать и срочно направил его в ЦК для необходимого согласования и оформления. Однако в ЦК этот вопрос пересмотрели и направили моего отца для работы в КГБ (тогда это было МГБ). Вопрос о том, хочет ли мой отец работать в КГБ, просто не рассматривался, как не имеющий отношения к делу. Насколько я понимаю, в обязанности моего отца входила первичная обработка разведывательной информации, на предмет определения, имеет ли она отношение к атомному проекту. Информация, имеющая отношение к атомному проекту, поступала затем к И.В.Курчатову. По характеру своей работы мой отец имел возможность сравнивать информацию, поступавшую к И.В.Курчатову, с информацией исходившей от него к подчиненным. Так что упомянутая выше информация о стиле работы И.В.Курчатова (выдающегося организатора науки) является информацией, полученной из первых рук.
Вообще-то, комплекс диссидента – это судьба, т.е. это не такая вещь, от которой легко избавиться, когда в нем нет нужды. Приведу пример из своего опыта. В 1964 году, когда я перешел из МГУ в Институт Прикладной Математики (ИПМ), где мне предстояло заняться проблемами, связанными с космическими лучами. В то время ракеты «Протон» были впервые использованы для подъема в космос многотонных ионизационных калориметров, служащих для определения энергии высокоэнергичных частиц космических лучей. Мне при переходе в ИПМ в качестве простой испытательной задачи было предложено рассчитать ошибки измерения энергии ионизационным калориметром. Я, использовав компьютер (ИПМ был в то время ведущим институтом в процессе компьютеризации физики), промоделировал процессы в ионизационном калориметре и обнаружил эффективный способ определения энергии с помощью существенно более тонкого и, следовательно, более легкого ионизационного калориметра. Ошибки измерения тоже были рассчитаны. Результат понравился тем людям, которые, занимались доставкой массивного ионизационного калориметра в космос, но не вызвал восторга у физиков, придумавших ионизационный калориметр и занимавшихся его эксплуатацией. В результате я со своим комплексом диссидента оказался «между двух огней», что вовсе не способствовало моей научной карьере. Таким образом, в практическом плане комплекс диссидента – это не всегда подарок судьбы, потому что «диссидент, он и в Африке диссидент».
Основным результатом моего первого исследования было понимание того, что мировая функция является более эффективным объектом описания римановой геометрии, чем бесконечно малый интервал (или метрический тензор). Честно говоря, я понял это не сразу. Прошло много лет, прежде чем я достиг некоторого понимания, хотя в некотором смысле этот факт лежит на поверхности, и не нужно быть специалистом по геометрии, чтобы понять это. Однако, я действовал как физик, знающий геометрию (и слава богу, что не как математик). Я попытался избавиться в описании римановой геометрии от использования системы координат, но натолкнулся на неожиданное препятствие. В рамках римановой геометрии описание геодезической можно было осуществить помощью одного алгебраического уравнения, не содержащего ссылку на систему координат, что было очень важно. Однако при малейшем отклонении мировой функции от мировой функции риманова пространства геодезическая превращалась в поверхность, потому что было только одно алгебраическое уравнение для описания геодезической, и в общем случае оно описывало поверхность, а не одномерную линию. (В случае римановой геометрии эта поверхность вырождалась в одномерную линию.) Для не-римановой геометрии это находилось в прямом противоречии с аксиомой Евклида, гласящей, что прямая (в данном случае геодезическая) не имеет толщины. Я не знал, как поступить, и оставил в покое эту проблему.
Следует заметить, что я провел второе исследование в римановой геометрии, которое было произведено позже, но опубликовано раньше (ЖЭТФ, 40, 1041, (1961)), чем мое первое исследование. Строго говоря, эту заметку трудно назвать исследованием, и я упоминаю о ней только потому, что внимание к ней научной общественности сильно отличалось от внимания, проявленного к первой работе, посвященной мировой функции. История написания заметки выглядит следующим образом. В 1960 году я присутствовал на гравитационном семинаре Д.Д.Иваненко, на котором делал доклад Игорь Новиков. Доклад был посвящен связи между областями внутри горизонта событий черной дыры и областями вне горизонта событий черной дыры. Нужно заметить, что в то время такие термины как «черная дыра» и «горизонт событий» еще не появились. Пространство-время вне горизонта событий называлось R-областью, а внутри горизонта событий - Т-областью. Игорь Новиков утверждал тогда, что не удается ввести систему координат, непрерывно переходящую из R-области в Т-область. Мне же было очевидно, что это легко можно сделать многими способами. Тут же на семинаре я заявил, что можно построить такую систему координат. Придя домой, я в тот же вечер написал письмо в редакцию ЖЭТФ. К моему удивлению, на следующий день или через день (сейчас я не помню деталей) после того, как я привез письмо в редакцию ЖЭТФ, мне позвонили и попросили меня придти в редакцию, так как со мной хочет поговорить Евгений Михайлович (Лифшиц, редактор ЖЭТФ).
Когда я появился в редакции ЖЭТФ, Евгений Михайлович сразу спросил меня, не буду ли я возражать, если письмо в редакцию будет переквалифицировано в обычную статью. Я, конечно, не возражал, во-первых, потому, что мне было все равно, а во-вторых, я тогда не видел разницы между статьей и письмом в редакцию. Более того, статья представлялась мне более серьезным и весомым документом, чем письмо в редакцию. Кроме того, Евгений Михайлович посоветовал мне сослаться на некоторые работы и дал список этих работ. Я переделал письмо в статью и сослался на те работы, которые рекомендовал Лифшиц. Статья была опубликована без проволочек.
Трудно сравнивать свои работы с чужими работами, так как здесь возможна субъективная оценка. Но свои собственные работы сравнивать легко, поскольку знаешь о них все. Сравнение двух моих первых публикаций было не в пользу публикации в ЖЭТФ. Во-первых, я потратил на ее написание один вечер, тогда как другую работу я писал полгода. Во-вторых, публикация в ЖЭТФ была посвящена сугубо формальному вопросу о классе преобразований координат, позволяющих осуществить непрерывный переход через горизонт событий, тогда как вторая работа была посвящена концептуальному вопросу, как следует описывать риманову геометрию. При этом исследование сопровождалось созданием нового эффективного формализма. Мою работу по мировой функции вряд ли кто заметил. Во всяком случае, мне не доводилось видеть ссылок на нее. Что касается работы, опубликованной в ЖЭТФ, то ссылка на нее появилась в 1972 году в 4-м издании книги Теория Поля Л.Д.Ландау и Е.М. Лифшица. В этой книге очень мало ссылок, и появление ссылки считается подтверждением высокой квалификации автора работы, на которую производится ссылка. Правда в последующих изданиях эта ссылка исчезла, что, на мой взгляд, указывает на конъюнктурный характер, как ссылки, так и популярности этой работы. Дело в том, что в начале шестидесятых годов были открыты квазары, и источником их энергии считался гравитационный коллапс. В этой связи возник интерес к черным дырам и всему, что имеет к ним отношение. Для меня же это было примером того, сколь опрометчиво при оценке исследования полагаться на переменчивое мнение научного сообщества, которое очень чувствительно к сиюминутной конъюнктуре.
В дальнейшем я оставил свои исследования по геометрии, осознав, что нужно сначала разобраться с квантованием. Мое возвращение к проблемам геометрии произошло только в самом конце восьмидесятых годов, когда я разобрался с квантованием, и для меня стало ясно, что квантовые эффекты являются результатом статистического описания случайно движущихся микрочастиц (электронов, протонов и т.д.). Оставался неясным лишь вопрос, почему свободное движение микрочастиц является случайным. Тут мне помог случай.
В конце восьмидесятых годов я обнаружил, что Journal of Mathematical Physics довольно либерально относится к публикации статей с нетрадиционной направленностью. В то время главным редактором журнала был Биденхарн. Я направил туда статью, озаглавленную “Extremal properties of Synge's world function and discrete geometry", в которой излагал возможность описания дискретных геометрий с помощью мировой функции Синга. Статью приняли к публикации, но попросили изменить обозначения, согласовав их с общепринятыми, и добавить ссылки на современные работы, использующие мировую функцию. В процессе переработки статьи мне пришла в голову следующая мысль. А что, собственно говоря, я имею против появления трубок (поверхностей) вместо прямых? Ведь струны, описывающие свободные частицы, имеют мировую трубку вместо мировой линии. Стоило только допустить, что в не-римановой геометрии вместо прямой может быть трубка, как устранялось препятствие на пути описания не-римановой геометрии с помощью только мировой функции. После этого я почти полностью переделал статью. В ней был предложен вариант не-римановой геометрии, которую я назвал трубчатой геометрией (Т-геометрией). Название статьи я менять не стал, так как при изменении названия нужно было снова проходить Главлит, что требовало около полугода.
Получившаяся Т-геометрия представляла собой странную и непривычную картину. Трубки вместо прямых линий. Отсутствовали такие понятия как непрерывная кривая и размерность, которые я привык считать первичными понятиями геометрии. Меня интересовали лишь физические геометрии, т.е. такие геометрии, которые могут быть использованы для описания пространства-времени. Обычно построение геометрии начиналось с утверждения о непрерывности геометрии и задания ее размерности, поскольку любая риманова геометрия является непрерывной геометрией заданной размерности. В Т-геометрии непрерывность и размерность не задавались, а задавалась лишь мировая функция. Именно она была единственной характеристикой Т-геометрии. С интуитивно физической точки зрения все это было хорошо, поскольку мировая функция описывает расстояние между любыми двумя точками, а это представляется достаточным для полного описания взаимного расположения всех геометрических объектов. Но как ввести понятие кривой, с помощью которой обычно описывают траекторию частицы и ее мировую линию? Как, вообще, ввести понятие частицы в геометрию, в которой не введено понятие кривой?
Обычно понятие кривой вводится как непрерывное отображение отрезка числовой оси на точки пространства. Но что такое непрерывное отображение? Такого понятия нет в Т-геометрии, которая сама, вообще говоря, не является непрерывной. Уж так ли важно понятие непрерывности для геометрии? Для римановой геометрии оно важно просто потому, что без понятия непрерывности нельзя ввести непрерывную систему координат и построить саму риманову геометрию. Но если геометрию удалось построить без использования понятия непрерывности, то так ли важно это понятие? Однако частицу и ее движение в пространстве надо как-то описывать, коль скоро я хочу использовать Т-геометрию в качестве геометрии пространства-времени.
Как же ввести в Т-геометрию понятие кривой, с помощью которой обычно описывается мировая линия частицы? Можно ли ввести понятие кривой, не вводя понятие непрерывного отображения, которое является новым и чуждым для Т-геометрии? Это можно сделать, если обратиться к Евклиду. Он не пользовался ни отображениями, ни системами координат. Евклид вводил кривую как предел ломаной с прямолинейными звеньями (т.е. цепи, состоящей из прямолинейных отрезков) при устремлении к нулю длины каждого из звеньев. Евклидова геометрия, в которой работал Евклид является непрерывной геометрией, и в ней нет проблемы для перехода к пределу отрезка прямой, когда длина его стремится к нулю. Т-геометрия не обязательно является непрерывной геометрией. Хотя там можно построить любой прямолинейный отрезок, но могут возникнуть проблемы при стремлении к нулю длины отрезка. Однако следует рассмотреть вопрос более внимательно. Может быть, случится так, что к пределу переходить не понадобится.
Рассмотрим в пространстве-времени цепь из связанных времениподобных прямолинейных отрезков одинаковой длины. Если пространство-время является пространством Минковского (а это частный случай Т-геометрии), то эту цепь (ломаную) можно рассматривать как некоторое приближение мировой линии частицы в пространстве-времени Минковского. Если частица свободная, то ее мировая линия представляет собой прямую. Прямую мы получим, если каждый из прямолинейных отрезков цепи будет параллелен смежному с ним отрезку. В пространстве-времени Минковского каждый прямолинейный отрезок цепи можно было рассматривать как вектор импульса частицы в этом месте пространства-времени, а длину вектора как массу частицы (с точностью до множителя). При этом для свободной частицы параллельность смежных векторов-отрезков означает сохранение импульса частицы вдоль мировой цепи (мировой линии). Очень важно, что для описания поведения частицы в пространстве-времени Минковского нет необходимости стремить к пределу длину звеньев цепи. Более того, лучше не устремлять к нулю длину звеньев, потому что без перехода к пределу масса и импульс могут быть превращены в геометрические понятия в том смысле, что они определяются длиной и направленностью звеньев цепи. В результате движение свободной частицы в пространстве-времени Минковского описывается цепью одинаковых связанных прямолинейных отрезков, и никакие дополнительные характеристики частицы не нужны. Для описания частицы нет необходимости вводить понятие кривой как непрерывного отображения отрезка числовой прямой на пространство-время. Описание движения частицы цепью из прямолинейных отрезков легко обобщается на случай произвольной Т-геометрии, в том числе и на случай римановой геометрии. Случай свободного движения частицы, когда смежные отрезки параллельны, тоже легко обобщается на случай Т-геометрии, поскольку параллельность двух векторов в Т-геометрии всегда определена (равенство скалярного произведения двух векторов произведению длин этих векторов).
Что касается описания электрического заряда частицы, то этот вопрос меня не волновал. Я знал, что заряд и электромагнитное поле легко могут быть геометризованы в пятимерных геометриях Калуцы – Клейна.
В рамках римановой геометрии существует только одно однородное изотропное и плоское пространство-время. Это - пространство-время Минковского. В рамках Т-геометрии существует целый класс однородных изотропных и плоских пространств-времен. Пространства-времена этого класса нумеруются функцией одного аргумента. Пространство-время Минковского входит в этот класс. При этом геометрия Минковского является одновариантной для любых времениподобных векторов. Термин одновариантность означает, что в любой точке существует одно и только одно направление параллельное данному направлению, и соответственно существует один и только один вектор эквивалентный (равный) данному. Любое (даже очень малое) отклонение мировой функции от мировой функции Минковского приводит к многовариантности геометрии. Многовариантность означает, что в данной точке имеется много векторов, параллельных данному, и не параллельных между собой. Свойство многовариантности для времениподобных векторов приводит к тому, что времениподобный отрезок прямой в пространстве Минковского превращается в трубку. Кроме этого многовариантность приводит к тому, что угол между смежными звеньями мировой цепи свободной частицы, измеренный в пространстве Минковского, оказывается многовариантным (многозначным), что приводит к вихлянию звеньев цепи и к многовариантной (случайной) форме мировой цепи свободной частицы.
В результате мировая цепь свободной частицы оказывается случайной из-за вихляния ее звеньев, причем характер и интенсивность вихляния зависит от мировой функции пространства-времени, т.е. от геометрии. Для описания мировой цепи частицы не нужно было вводить понятия кривой. Достаточно было ввести понятие мировой цепи частицы, которое отличается от понятия мировой линии тем, что не нужно переходить к пределу со звеньями нулевой длины. Таким образом, понятие мировой цепи частицы можно ввести даже в пространстве-времени, не обладающем свойством непрерывности. Использование понятия мировой цепи вместо понятия мировой линии привлекательно еще и в том отношении, что мировая цепь частицы может быть составлена из более сложных объектов, чем отрезки прямой. В этом случае мировая цепь будет мировой цепью сложной частицы, и свойства этой частицы будут зависеть от свойств геометрических объектов, из которых составлена ее мировая цепь.
При первом знакомстве с Т-геометрией возникает впечатление, что это какое-то экзотическое построение, где вместо одномерных прямых полые трубки. Одним словом, впечатление такое, что это какая-то ерунда. Будучи физиком, я бы никогда не занялся исследованием такой диковинной конструкции, как Т-геометрия, если бы не одно обстоятельство, которое представляется мне исключительно важным.
Этим важным обстоятельством было то, что в Т-геометрии, описывающей пространство-время, движение свободных частиц было многовариантным (случайным), причем характер случайности движения зависел от выбора мировой функции. Я поставил вопрос следующим образом. Возможна ли такая геометрия пространства-времени, где движение свободных частиц было бы случайным, а статистическое описание свободного движения частицы совпадало бы с квантовым описанием (J.Math.Phys. 32, 2876 (1991)). Оказалось, что такая геометрия пространства-времени возможна, но при этом квантовая постоянная оказывалась параметром геометрии пространства-времени. Однако, от массы частицы геометрия не зависела, хотя квантовое описание существенно зависит от массы частицы. Масса частицы входила в описание движения частицы через длину звеньев мировой цепи, а сама геометрия от массы не зависела. Это было очень важно, поскольку только универсальная геометрия (не зависящая от свойств частицы) представляла интерес. В результате вопрос о возможности Т-геометрии в качестве модели для пространства-времени был решен. Очень важным оказалось то обстоятельство, что к моменту попытки построения Т-геометрии вопрос о статистическом обосновании квантовой механики был мной решен. Если бы это было не так, то я не уверен, занялся ли бы я разработкой Т-геометрии. Скорее всего, в этом случае я не стал бы рассматривать геометрию пространства-времени как вариант Т-геометрии из-за исключительной экзотичности Т-геометрии.
Любопытным является следующий факт. Сначала я послал свою статью в журнал Nature, наивно полагая, что столь интересный результат достоин широкого оповещения. Но статью отклонили на том основании, что полученный результат является слишком экзотичным и фантастическим, чтобы быть правильным. В Journal of Mathematical Physics с его тогдашним редактором Биденхарном были другого мнения, и статья была опубликована.
Возможность объяснения эффектов квантовой механики с помощью геометрии резко изменила направленность моей исследовательской деятельности. К этому моменту у меня уже была написана и подготовлена к защите докторская диссертация по магнитосфере пульсара. Я задвинул ее вглубь ящика письменного стола, поставив тем самым крест на своей научной карьере, (но не на исследовательской деятельности) и вплотную занялся Т-геометрией.
Первоначально Т-геометрия появилась как обобщение римановой геометрии, возникшее в результате применения формализма мировой функции. Это обстоятельство приводило к ограниченному использованию Т-геометрии. Дело в том, что риманова геометрия изучает главным образом свойства геодезических линий и геометрических объектов, построенных из геодезических. Этого оказывается вполне достаточно для описания динамики частиц в пространстве-времени, описываемом римановой геометрией. Геодезическая в римановой геометрии является аналогом прямой в евклидовой геометрии. Описание геометрических объектов римановой геометрии, являющихся аналогом n-мерной евклидовой плоскости, разработано очень мало, или почти не разработано. Соответственно, пока Т-геометрия рассматривалась как обобщение римановой геометрии, вопрос об описании геометрических объектов, являющихся аналогом n-мерной евклидовой плоскости, т.е. определяемых n +1 точкой, не был разработан.
То обстоятельство, что Т-геометрия
описывается мировой функцией (или метрикой, не удовлетворяющей, вообще говоря,
аксиоме треугольника) сближает
Т-геометрию с дистантной геометрией (или метрической геометрией, являющейся
частным случаем дистантной геометрии). Далее Т-геометрия рассматривалась как обобщение метрической
геометрии. Это позволило ввести трубки n-ого порядка, определяемые
заданием n+1 точки, и
являющиеся аналогами n-мерных
плоскостей евклидовой геометрии. При этом Т-геометрия отличалась от дистантной
геометрии (L.M.~Blumenthal, Theory and Applications of Distance Geometry, Oxford,
Clarendon Press,
1953.) тем, что в дистантной геометрии
понятие кривой вводится независимо от понятия расстояния, а в Т-геометрии
понятие кривой не вводится, вообще. Иначе говоря, дистантная геометрия не
является последовательной метрической геометрией, коль скоро в ней появляются
объекты, не определяемые метрикой. Т-геометрия как обобщение метрической геометрии
была встречена математиками спокойно, хотя некоторые расценивали ее как
странную и неожиданную. Работа была доложена в 1999 на конференции по анализу и
геометрии в Новосибирске и опубликована ( «Metric space: classification of finite subspaces instead of constraints on metric.» Proceedings on analysis and geometry, Novosibirsk, Publishing House of
Mathematical institute, 2000. pp. 481-504, (in Russian). Английская версия: http://arXiv.org/abs/math.MG/9905111). Независимо от доклада на конференции,
она была опубликована в журнале Фундаментальная и Прикладная Математика , 7,
№.4, 1147-1175, (2001).
Далее я ввел понятие сигма-имманентности, которое означало, что любое понятие и соотношение собственно евклидовой геометрии может быть выражено через мировую функцию и введено в Т-геометрии, полностью определяемой мировой функцией. По существу это означало, что любая Т-геометрия может быть получена из собственно евклидовой геометрии в результате ее деформации, т.е. замены мировой функции евклидовой геометрии на мировую функцию искомой геометрии. Это был универсальный способ введения евклидовых понятий и объектов в любую физическую геометрию, т.е. геометрию, отличающуюся от метрической геометрии тем, что на метрику, вообще говоря, не накладывается условие треугольника.
Осознание этого обстоятельства привело к выводу, что Т-геометрия строится некоторым очень простым методом, который является альтернативным к традиционному методу построения геометрии, основанному на выведении геометрии из системы аксиом данной геометрии. Впоследствии я назвал новый метод построения обобщенной геометрии принципом деформации. Естественно было проверить, в какой степени новый метод построения геометрии альтернативен традиционному методу построения геометрии. Проще всего это было проверить на примере римановой геометрии, построив ее дважды: один раз традиционным способом, а другой раз с помощью принципа деформации. Для римановой геометрии, построенной традиционным способом, нужно было построить мировую функцию от любых двух точек, вычислив соответствующий интеграл вдоль геодезической, соединяющей эти точки. После этого на базе получившейся мировой функции строилась Т-геометрия, которую я называл сигма-римановой геометрией. После этого риманова геометрия и сигма-риманова геометрия сравнивались между собой. Различия были и довольно существенные. В сигма-римановой геометрии был абсолютный параллелизм, но была и многовариантность, т.е. имелось много векторов параллельных данному, но не параллельных между собой. В римановой геометрии не было многовариантности, но не было и абсолютного параллелизма. Я объяснил себе это следующим образом. Риманова геометрия переопределена, т.е. при построении римановой геометрии используются геометрические объекты или некоторые утверждения (аксиомы), которые не согласованы с другими аксиомами.
В римановой геометрии таким «лишним геометрическим объектом» было понятие кривой, определяемой как непрерывное отображение отрезка числовой оси на пространство точек геометрии. Действительно, если можно построить геометрию, не вводя понятия кривой, то нельзя было допустить, чтобы понятие кривой принимало участие в построении геометрии. Если все же использовать понятие кривой при построении геометрии, то нужно было позаботиться о том, чтобы понятие кривой было согласовано с использованием мировой функции – основного и единственного строительного материала, из которого строилась сигма-риманова геометрия. В первом приближении понятие кратчайшей кривой было согласовано с понятием прямой (геодезической), которая была одномерной, как и кривая. Однако, прямая в сигма-римановой геометрии была одномерной лишь в том случае, если она проводилась параллельно некоторому вектору и проходила через начало (или конец) этого вектора. В том случае, когда прямая проводилась параллельно вектору не через его начало (или конец), то она оказывалась, вообще говоря, многовариантной, т.е. неодномерной. Это показывали расчеты, проводимые на основе свойств мировой функции риманова пространства, которые были изучены в моей первой работе (Известия ВУЗов, Математика №.3(28), стр. 131-142 ,(1962)).
Многовариантность такой прямой (геодезической) порождалась кривизной риманова пространства. Для плоской римановой геометрии многовариантность исчезала и сигма-риманова геометрия совпадала с римановой геометрией, а риманова геометрия совпадала с евклидовой геометрией. С точки зрения аксиоматики римановой геометрии прямые (геодезические) не могли быть многовариантными. Их можно было запретить, запретив ферн-параллелизм. Тогда нельзя будет проводить прямую, параллельную вектору, через точку, отличную от начала (или конца) вектора. В результате многовариантные прямые устраняются из римановой геометрии.
Возникает вопрос, имеем ли мы право запрещать ферн-параллелизм. Разумеется, если геометрия есть просто творение человеческого духа, то мы имеем право это делать. Однако, если риманова геометрия претендует на описание пространства-времени, существующего независимо от нас, то спрашивается, имеем ли мы право устанавливать свои порядки в построении геометрии. Многовариантность является естественным свойством физической геометрии, строящейся на основе мировой функции и только мировой функции. При построении прямой в физической геометрии приходится решать одно уравнение. Естественным и общим является случай, когда в результате решения одного уравнения получается поверхность, а не одномерная линия. Одномерная линия является вырожденным случаем, который появляется в евклидовой геометрии и связан с тем, что мировая функция имеет вид суммы квадратов разностей координат. При обращении в нуль суммы квадратов обращается в нуль каждое из слагаемых. В этом формальная причина вырождения.
Имеются так же другие различия между римановой геометрией и сигма-римановой геометрией, обусловленные введением неметрического понятия кривой. В сигма-римановой геометрии мировая функция является первичным понятием, а в римановой геометрии первичным понятием является бесконечно малый интервал, а мировая функция выражается через интеграл, взятый вдоль геодезической. В результате мировая функция римановой геометрии зависит от вида семейства геодезических. Например, на двумерной евклидовой плоскости семейство геодезических представляет собой множество всех прямых. Если в двумерной евклидовой плоскости вырезать дырку, то семейство геодезических изменяется. Изменяется и мировая функция. В результате евклидова плоскость после вырезания в ней дырки перестает быть евклидовой плоскостью и не вкладывается изометрически в евклидову плоскость без дырки. Результат явно абсурдный. Однако, математики и тут находят выход. Они говорят: «Мы будем изучать риманову геометрию только на выпуклых множествах». Ну, что тут скажешь!
Наконец, если пространство Минковского рассматривать как частный случай сигма-римановой геометрии, то пространственноподобная прямая (определяемая двумя точками, разделенными пространственноподобным интервалом) имеет вид трехмерной поверхности. Если точки P и P’ разделены пространственноподобным интервалом, то определяемая ими прямая в «сигма-Минковской» геометрии имеет вид двух трехмерных плоскостей, касающихся световых конусов с вершинами в точках P и P’. В тоже время в традиционной геометрии Минковского пространственноподобная прямая имеет вид обычной одномерной прямой, проходящей через точки P и P’.
Пространство Минковского представляет собой модель пространства-времени, а пространственно-подобная прямая представляет собой мировую цепь гипотетической частицы – тахиона. Тахион до сих пор не обнаружен. Предполагается, что свободный тахион движется со сверхсветовой скоростью (что считается невозможным) и описывается одномерной пространственноподобной прямой. Это в том случае, если пространственно-временная геометрия является геометрией Минковского. Если же геометрия пространства-времени является «сигма-Минковской» геометрией, то свободный тахион (если он существует) описывается трехмерной поверхностью. Трудно сказать, что это означает конкретно. Но в таком виде тахионы, конечно же, никто не искал. В геометрии «сигма-Минковского» времениподобные прямые одномерны, а пространственноподобныые – трехмерны, т.е. различие между ними чисто геометрическое. Это свидетельствует о том, что «сигма-Минковская» геометрия представляется более реальной (хотя и менее привычной), чем геометрия Минковского.
Нельзя быть уверенным, что различия между римановой геометрией и сигма-римановой исчерпываются пречисленными выше случаями. Могут обнаружиться новые нестыковки между римановой и сигма-римановой геометриями, которые потребуют новых ограничений и запретов. Заметим, что все эти нестыковки обусловлены использованием понятия кривой при построении римановой геометрии и нежеланием рассматривать многовариантные геометрии и геометрии, проявляющие хотя бы в некоторых случаях свойство многовариантности. Наконец, реальная геометрия пространства-времени обладает свойствами многовариантности. Это естественным образом объясняет существование и описание квантовых эффектов. Вряд ли можно считать разумным подход, когда многовариантность сначала искусственно изгоняется из геометрии пространства-времени, а затем искусственно вводится, но уже не в геометрию, а в динамику.
Объяснением такого подхода к римановой геометрии может служить лишь традиция и старый стереотип мышления.
После того как было осознано все сказанное выше, я написал статью «Геометрия без топологии как новая концепция геометрии», где в числе прочего изложил расхождения между римановой и сигма-римановой геометриями. Эта работа была уже враждебно встречена математиками. Проявилось это в том, что работу отказались заслушать на заседании Московского Математического Общества (ММО).
Я направил статью в журнал Фундаментальная и Прикладная Математика, где до этого была принята к публикации (и затем опубликована) моя работа по Т-геометрии, представленной как обобщение метрической геометрии. Мою новую статью «подвесили». Означает это, что на мою статью не давали отзыва. Проходит полгода,…год, …полтора… Отзыва на статью нет и нет. Секретарь редакции (очень милая и приятная женщина) объясняет: «Не пишет отзыва рецензент, я ничего не могу сделать». Я предлагаю послать другому рецензенту. Оказывается, что это сделать тоже нельзя, сейчас я уже не помню по каким причинам. Вообще, замечательный способ затормозить статью, на которую не удается написать отрицательный отзыв! Это типично советская (русская) находка! За границей такого способа не знают. Во всяком случае, за границей со мной ни разу так не поступали. А в России – уже три раза, хотя я посылаю статьи в российские журналы гораздо реже, чем в зарубежные. В частности, и по этой причине тоже.
К счастью, когда уже прошло полтора года после моего представления статьи в журнал, я получил по электронной почте “call for papers” из журнала Intrnational Journal of Mathematics & Mathematical Sciences. Я направил туда статью и вскоре она была опубликована ("Geometry without topology as a new conception of geometry." Int. Jour. Mat. & Mat. Sci. 30, iss. 12, 733-760, (2002), http://arXiv.org/abs/math.MG/0103002, русс. версия http://rsfq1/physics/sunysb.edu/~rylov/gwtnct1r.ps).
Между тем дальнейшее развитие Т-геометрии шло своим чередом. Речь идет не о каких-то изученных свойствах специальных видов Т-геометрии. Обнаруживались новые неожиданные общие свойства как самой Т-геометрии, так и ее применения в качестве пространственно-временной геометрии. Я осознал, что любая Т-геометрия может быть построена как результат деформации собственно евклидовой геометрии, причем под деформацией понималась деформация самого общего вида (а не только непрерывная деформация). Это могла быть деформация, превращающая пространство одной размерности в пространство другой размерности. Это могла быть деформация превращающая непрерывное пространство в дискретное и наоборот. Обнаружилось, что на многообразии Минковского можно получить дискретную геометрию простым изменением мировой функции. При этом дискретность получившегося пространства не означала, что из многообразия Минковского были выброшены почти все точки, так что осталось лишь счетное число их. Все точки многообразия сохранились, но изменение мировой функции сделало геометрию дискретной в том смысле, что не было векторов, для которых четвертая степень их длины была бы положительной и меньшей некоторой величины D. Она могла быть либо нулевой, либо большей этой величины D, представляющей собой четвертую степень элементарной длины. Это создавало некое новое представление о том, что такое дискретная геометрия.
Противостояние с математиками продолжалось. Они не желали признавать Т-геометрию. Мои статьи, направляемые в (англоязычные) математические журналы отклонялись под самыми немыслимыми предлогами. Непризнание Т-геометрии напоминало ситуацию полуторавековой давности с непризнанием не-евклидовой геометрии. Я квалифицировал ситуацию как новый кризис, порожденный предрассудками, т.е. общепризнанными ошибочными утверждениями. Таким ошибочным утверждением я считал утверждение: «прямая одномерна в любой геометрии». Впоследствии к нему я присоединил другое широко распространенное ошибочное утверждение: «любая геометрия может быть аксиоматизирована». У физиков кризисы подобного сорта мало вероятны или даже невозможны, поскольку всякое осмысленное физическое утверждение может быть, в конечном счете, проверено экспериментально. У математиков экспериментальная проверка, вообще говоря, невозможна.
Я относился философски к этому противостоянию, поскольку Т-геометрия нужна была мне как математический аппарат для описания пространства-времени, и я использовал Т-геометрию, не обращая внимание на мнение математиков. Однако, это не помешало мне написать статью " New crisis in geometry?." (http://arXiv.org/abs/mat.GM/0503261), русс. версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/ncgr1.ps ). Статья была помещена в архивах в марте 2005 года.
Сравнение построения физической геометрии на основе принципа деформации с традиционным методом построения геометрии, путем выведения геометрии логическим путем из системы аксиом обнаружило шокирующий результат, что не всякая геометрия может быть аксиоматизирована. Геометрия представляет собой множество утверждений. Аксиоматизация геометрии означает возможность выделения такого подмножества утверждений этого множества, называемого множеством аксиом, что из этого множества аксиом можно логическим путем получить все множество утверждений геометрии. Аксиоматизация собственно евклидовой геометрии возможна, и это было доказано. Что касается других геометрий, то их аксиоматизация не доказана. В то же время традиционный способ построения геометрии основан на гипотезе о возможности аксиоматизации любой геометрии.
Представим себе следующую ситуацию. Пусть имеется множество M_G всех утверждений геометрии G. Пусть далее M_A есть множество аксиом, принадлежащих множеству M_G и обладающих тем свойством, что из них может быть получено логическим путем множество утверждений M_g, представляющих собой множество всех утверждений некоторой геометрии g, причем множество M_g является подмножеством M_G всех утверждений геометрии G и не совпадает с ним. Возникает вопрос, в каком отношении находятся геометрия G и геометрия g. Можем ли мы сказать, что геометрия g является «подгеометрией» геометрии G на том основании, что все утверждения геометрии g представляют собой только часть всех утверждений геометрии G? Вообще говоря, вопрос, называть ли геометрию g «подгеометрией» ли не называть, - это вопрос терминологии. Но вопрос о взаимоотношениях геометрий G и g является важным и интересным вопросом, который, по-видимому, не рассматривался в литературе просто по той причине, что математики рассматривали только те геометрии, которые могут быть получены путем выведения их из аксиом.
Если предположить, что геометрия G является сигма-римановой геометрией, которая не может быть аксиоматизирована, а геометрия g является римановой геометрией, которая допускает аксиоматизацию, то множество утверждений M_(G-g), которые принадлежат M_G , но не принадлежат M_g, будет представлять собой множество тех утверждений, истинность или ложность которых нельзя доказать на основании аксиом геометрии g. О существовании подобных утверждений трактует известная теорема Геделя, парадоксальность которой обусловлена ложным предположением, что всякая геометрия может быть аксиоматизирована.
В итоге, нельзя решить вопрос, какая геометрия правильная, риманова или сигма-риманова, на основе одной только логики. Приходится привлекать «экспериментальные данные», а они на стороне сигма-римановой геометрии.
Формальный аппарат Т-геометрии, включая
принцип деформации, были созданы в самом конце ХХ века. Освоение Т-геометрии
сопровождалось пониманием новых возможностей ее применения в физике. Однако
существующее у меня понимание физической геометрии и ее возможностей оказалось
недостаточным. Переосмысление Т-геометрии продолжалось и после создания
формального аппарата Т-геометрии, но об этом в одной из следующих баек.